Матрица линейного оператора, строение матрицы.

Покажем, что образы базисных векторов должны быть расположены в столбцах матрицы, что именно при таком строении матрицы умножение её на вектор-столбец будет задано корректно, то есть оно будет действительно отображать базисные векторы в их образы.

Пусть в нашем примере базисные векторы (1,0) и (0,1) переходят в (1,3) и (2,4). Построим матрицу, где это - столбцы, и умножим её на (1,0) и (0,1) поочерёдно:

Умножим на : ,

на : .

Обнаружили, что базисные векторы при умножении на квадратную матрицу отобажаются именно в такие векторы, координаты которых записаны в 1 и 2 столбце матрицы!

Строение матрицы оператора: столбцы есть образы базисных векторов при данном отображении, то есть столбец номер матрицы оператора содержит вектор .

Итак, если задан какой-либо закон, по которому отображаются векторы, то чтобы задать матрицу оператора, надо найти, куда отображаются базисные векторы. Для примера, найдём матрицу оператора поворота на 90 градусов.

, . Запишем в 1-й и 2-й столбец эти образы: .

Действие оператора на любой вектор задаётся матрицей так:

- любой вектор поворачивается на 90 градусов.

Поворот на произвольный угол:

 

Расстояния r1 и r2 здесь равны и . Красным показаны образы базисных векторов. Получаем матрицу .

При как раз и получится . А вот при матрица будет иметь вид , и действительно, умножение на такую матрицу переводит любой вектор в , а при повороте на каждый вектор как раз и должен повернуться и стать противоположным исходному.

 

Как построить матрицу по общему виду функции, например

Отобразим базис: , .

Запишем в столбцы: .

Образ произвольного вектора как раз и получается таким, как требуется в изначальной формуле:

 

Оператор проекции на ось Ох.

Базисный вектор (1,0) остаётся на своём месте, а (0,1) отображается в (0,0). Проекции на ось х соответствует матрица .

 

* Свойство: L(0)=0. Действительно, пусть 0 вектор задан в виде . Тогда: .

Получается, что только растяжение и поворот и их комбинации есть линейные отображения, а параллельный перенос (сдвиг) не входит в это понятие, ведь он не сохраняет 0-вектор на своём месте. Среди отображений 1-мерного пространства получается, что линейным отображением является лишь y=kx, но не y=kx+b.

k(x+y)= k(x) + k(y), но для y=kx+b сумму так раскрыть уже нельзя, потому что k(x+y) +b = k(x) + k(y) +b, а не (k(x) +b) + (k(y) +b).

 

Тождественный оператор I.

Линейный оператор, который отображает каждый вектор в исходный, называется тождественным. I(x)=x. Ему соответствует матрица Е.

 

Композиция операторов. Если последовательно действуют два линейных оператора: то итоговое отображение называется композицией двух операторов. Соответственно, с помозью матриц это задаётся так: , что равно , так что композиции операторов соответствует произведение матриц.

 

Обратный оператор. Если для линейного оператора L существует линейный оператор, который каждый вектор отображает обратно в x, то L называется обратимым, а этот второй оператор - обратным для L.

.

Примеры: поворот на угол - обратимый, проекция - необратимый линейный оператор.

При последовательном действии двух этих операторов получается тождественный:

Обратному оператору соответствует обратная матрица.

Лемма. Линейный оператор является обратимым .

 

Собственные векторы.

Определение. Если для ненулевого вектора выполняется , то называется собственным числом, а вектор называется собственным вектором, соответствующим этому собственному числу.

Замечания.

* Геометрически это означает, что при действии отображения вектор остаётся на той же самой прямой.

* Для нулевого вектора рассматривать это понятие нет смысла, ведь для любого числа .

Не для каждого оператора существуют собственные векторы.

Примеры. При повороте плоскости на произвольный угол, ни один вектор не остаётся на той же самой прямой. Однако в случае поворота на 0 и 180 градусов, все векторы остаются на своих прямых, для поворота на 0 градусов (это тождественное оторажение), для поворота на 180⁰, так как все векторы переходят в противоположные.

Вращение в пространстве: все векторы на оси вращения - собственные, соответствуют .

Если растяжение по оси x с коэффициентом 2, а по оси y с коэффициентом 3, то векторы, не лежащие на осях, немного поворачиваются, не являются собственными.

 

Теорема 1. Линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же числу , тоже является собственным вектором, соответствующим тому же .

Доказательство. Дано , . Тогда = .

Итак, для линейной комбинации, действие оператора тоже равносильно умножению на , что и требовалось доказать.

* Важные следствия: Если какой-то вектор на прямой является собственным, то и любой другой вектор на этой же прямой является собственным, так как он кратен первом у вектору, то есть является его линейной комбинацией.

Если растяжение в плоскости на один и тот же коэффициент по двум осям, то и все векторы плоскости - собственные векторы.

 

Теорема 2. Любые два собственных вектора, соответствующих различным собственным числам, образуют линейно-независимую систему.

Доказательство. Дано , . Допустим, что они были бы линейно-зависимы, то есть предположим .

Можно сначала отобразить линейным оператором, а потом представить в виде , а можно наоборот, сначала выразить через , а потом применить отображение:

тогда , то есть . Но вектор ненулевой, коэффициент тоже. Тогда , то есть , а это противоречит условию теоремы. Итак, предположение ложно, векторы не могут быть линейно-зависимы. Что и требовалось доказать.

 

Вывод: Вся прямая состоит из собственных векторов, соответствующих одному и тому же , там не может быть векторов, соответствующих другим числам, а также векторов, не являющихся собственными.

 

Теорема 3. О собственных векторах обратного оператора.

Если является собственным вектором линейного оператора , соответствующим , то он также является собственным и для обратного оператора , и соответствует числу .

Доказательство. Если , то по определению обратного оператора . Но тогда вынесем константу:

а значит, .

 

Введём такие понятия:

Характеристическая матрица .

Характеристическое уравнение: (вычислить определитель хар. матрицы и приравнять к 0).

 

Теорема 4. Число является собственным для линейного оператора, заданного матрицей , тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Покажем для матрицы 2 порядка. Запишем подробно выражение :

, тогда

Это кажется похоже не неодородную, но на самом деле это однородная система, так как справа не константы, а выражения с теми же переменными, что и слева, то есть их можно перенести все в одну сторону, и справа останутся 0, вот что получилось:

Если основная матрица такой системы невырождена, то решение только тривиальное (так как ранг равен числу переменных, и нет свободных переменных), а если вырождена, то нетривиальные решения есть.

Итак, решение существует , это и есть , так как это определитель матрицы .

Что и требовалось доказать.

 

* Рассмотрим случай . Прямая, состоящая из собственных векторов, соответствующих , называется ядром оператора. .