Покажем, что образы базисных векторов должны быть расположены в столбцах матрицы, что именно при таком строении матрицы умножение её на вектор-столбец будет задано корректно, то есть оно будет действительно отображать базисные векторы в их образы.
Пусть в нашем примере базисные векторы (1,0) и (0,1) переходят в (1,3) и (2,4). Построим матрицу, где это - столбцы, и умножим её на (1,0) и (0,1) поочерёдно:
Умножим на 
: 
,
на 
: 
.
Обнаружили, что базисные векторы при умножении на квадратную матрицу отобажаются именно в такие векторы, координаты которых записаны в 1 и 2 столбце матрицы!
Строение матрицы оператора: столбцы есть образы базисных векторов при данном отображении, то есть столбец номер 
матрицы оператора содержит вектор 
.
Итак, если задан какой-либо закон, по которому отображаются векторы, то чтобы задать матрицу оператора, надо найти, куда отображаются базисные векторы. Для примера, найдём матрицу оператора поворота на 90 градусов.
, 
. Запишем в 1-й и 2-й столбец эти образы: 
.
Действие оператора на любой вектор задаётся матрицей так:
- любой вектор поворачивается на 90 градусов.
Поворот на произвольный угол:
Расстояния r1 и r2 здесь равны 
и 
. Красным показаны образы базисных векторов. Получаем матрицу 
.
При 
как раз и получится . А вот при 
матрица будет иметь вид 
, и действительно, умножение на такую матрицу переводит любой вектор 
в 
, а при повороте на каждый вектор как раз и должен повернуться и стать противоположным исходному.
Как построить матрицу по общему виду функции, например
Отобразим базис: 
, 
.
Запишем в столбцы: 
.
Образ произвольного вектора как раз и получается таким, как требуется в изначальной формуле: 
Оператор проекции на ось Ох.
Базисный вектор (1,0) остаётся на своём месте, а (0,1) отображается в (0,0). Проекции на ось х соответствует матрица 
.
* Свойство: L(0)=0. Действительно, пусть 0 вектор задан в виде 
. Тогда: 
.
Получается, что только растяжение и поворот и их комбинации есть линейные отображения, а параллельный перенос (сдвиг) не входит в это понятие, ведь он не сохраняет 0-вектор на своём месте. Среди отображений 1-мерного пространства получается, что линейным отображением является лишь y=kx, но не y=kx+b.
k(x+y)= k(x) + k(y), но для y=kx+b сумму так раскрыть уже нельзя, потому что k(x+y) +b = k(x) + k(y) +b, а не (k(x) +b) + (k(y) +b).
Тождественный оператор I.
Линейный оператор, который отображает каждый вектор в исходный, называется тождественным. I(x)=x. Ему соответствует матрица Е.
Композиция операторов. Если последовательно действуют два линейных оператора: 
то итоговое отображение называется композицией двух операторов. Соответственно, с помозью матриц это задаётся так: 
, что равно 
, так что композиции операторов соответствует произведение матриц.
Обратный оператор. Если для линейного оператора L существует линейный оператор, который каждый вектор отображает обратно в x, то L называется обратимым, а этот второй оператор - обратным для L.
.
Примеры: поворот на угол - обратимый, проекция - необратимый линейный оператор.
При последовательном действии двух этих операторов получается тождественный: 
Обратному оператору соответствует обратная матрица.
Лемма. Линейный оператор является обратимым 
.
Собственные векторы.
Определение. Если для ненулевого вектора выполняется 
, то 
называется собственным числом, а вектор 
называется собственным вектором, соответствующим этому собственному числу.
Замечания.
* Геометрически это означает, что при действии отображения вектор остаётся на той же самой прямой.
* Для нулевого вектора рассматривать это понятие нет смысла, ведь 
для любого числа .
Не для каждого оператора существуют собственные векторы.
Примеры. При повороте плоскости на произвольный угол, ни один вектор не остаётся на той же самой прямой. Однако в случае поворота на 0 и 180 градусов, все векторы остаются на своих прямых, 
для поворота на 0 градусов (это тождественное оторажение), 
для поворота на 1800, так как все векторы переходят в противоположные.
Вращение в пространстве: все векторы на оси вращения - собственные, соответствуют .
Если растяжение по оси x с коэффициентом 2, а по оси y с коэффициентом 3, то векторы, не лежащие на осях, немного поворачиваются, не являются собственными.
Теорема 1. Линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же числу , тоже является собственным вектором, соответствующим тому же .
Доказательство. Дано , 
. Тогда 
= 
.
Итак, для линейной комбинации, действие оператора тоже равносильно умножению на , что и требовалось доказать.
* Важные следствия: Если какой-то вектор на прямой является собственным, то и любой другой вектор на этой же прямой является собственным, так как он кратен первом у вектору, то есть является его линейной комбинацией.
Если растяжение в плоскости на один и тот же коэффициент по двум осям, то и все векторы плоскости - собственные векторы.
Теорема 2. Любые два собственных вектора, соответствующих различным собственным числам, образуют линейно-независимую систему.
Доказательство. Дано 
, 
. Допустим, что они были бы линейно-зависимы, то есть предположим 
.
Можно сначала отобразить линейным оператором, а потом представить в виде , а можно наоборот, сначала выразить через 
, а потом применить отображение:
тогда 
, то есть 
. Но вектор ненулевой, коэффициент 
тоже. Тогда 
, то есть 
, а это противоречит условию теоремы. Итак, предположение ложно, векторы не могут быть линейно-зависимы. Что и требовалось доказать.
Вывод: Вся прямая состоит из собственных векторов, соответствующих одному и тому же , там не может быть векторов, соответствующих другим числам, а также векторов, не являющихся собственными.
Теорема 3. О собственных векторах обратного оператора.
Если является собственным вектором линейного оператора 
, соответствующим , то он также является собственным и для обратного оператора 
, и соответствует числу 
.
Доказательство. Если 
, то по определению обратного оператора 
. Но тогда вынесем константу: 
а значит, 
.
Введём такие понятия:
Характеристическая матрица 
.
Характеристическое уравнение: 
(вычислить определитель хар. матрицы и приравнять к 0).
Теорема 4. Число является собственным для линейного оператора, заданного матрицей 
, тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Покажем для матрицы 2 порядка. Запишем подробно выражение 
:
, тогда 
Это кажется похоже не неодородную, но на самом деле это однородная система, так как справа не константы, а выражения с теми же переменными, что и слева, то есть их можно перенести все в одну сторону, и справа останутся 0, вот что получилось:
Если основная матрица такой системы невырождена, то решение только тривиальное (так как ранг равен числу переменных, и нет свободных переменных), а если вырождена, то нетривиальные решения есть.
Итак, решение существует 
, это и есть , так как это определитель матрицы 
.
Что и требовалось доказать.
* Рассмотрим случай 
. Прямая, состоящая из собственных векторов, соответствующих , называется ядром оператора. 
.
