Обобщенный закон Гука при объемном напряженном состоянии.

Изучая простое растяжение-сжатие, мы выяснили, что относительная продольная деформация

 

(1.8)

 

а относительная поперечная деформация

 

(1.9)

 

Эти два равенства выражали закон Гука (зависимость между напряжениями и деформациями) при простом растяжении или сжатии, то есть при линейном напряженном состоянии. Далее установим связь между напряжениями и деформациями в общем случае объемного напряженного состояния.

Рассмотрим деформацию элемента под действием главных напряжений σ₁, σ₂, σ₃ Все напряжения положительны. Вследствие деформации ребра элемента изменяют свою длину и становятся равными a +Δ a; b +Δ b; c +Δ c.

 

 

Величины

называются главными деформациями и представляют собой относительные удлинения в главных направлениях (рисунок 1.5).

 

Рисунок 1.5 – Деформации элемента под действием главных напряжений

Обобщенный закон Гука для изотропного тела, то есть зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае объемного напряженного состояния:

 

(1.10)

Данные выражения справедливы и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям:

 

(1.11)

2 Элементарные сведения из геометрии поверхностей вращения*

При всем разнообразии технологического оборудования и машин, применяемых в различных отраслях промышленности, в том числе нефтегазодобыче и переработке, их можно представить состоящими из элементов, выполненных в виде пластин и оболочек, соединенных друг с другом как разъемными, так и неразъемными соединениями.

При расчете таких элементов основной для инженера является теория пластин и оболочек.

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина S) мало по сравнению с другими размерами тела. Оболочки принадлежат к сплошным непрерывным системам (к дискретным системам относятся, например, стержневые системы).

Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной.

Воображаемую поверхность, равноотстоящую от обеих ограничивающих поверхностей, называют срединной поверхностью (рисунок 1.6).

Оболочкой вращения называется оболочка, образованная вращением какой-либо плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости и на пересекающей ее (рисунок 1.7).

Геометрическое наименование оболочки определяется формой ее срединной поверхности: произвольной формы (рисунок 1.8) цилиндрическая, сферическая, эллипсоидальная, торосферическая и т.д..

Рисунок 1.6 – Срединная поверхность

 

 

Ось вращения

Кривая вращения

 

 

 

Рисунок 1.7 – Оболочка вращения

 

 

 

Рисунок 1. 8– Оболочка вращения произвольной формы

Осесимметричной называют оболочку, если она, во-первых, является оболочкой вращения и, во-вторых, если она нагружена равномерно распределенными относительно оси нагрузками.

Например, давление на стенки может изменяться вдоль оси вращения, например, при наличии жидкости в вертикальной цилиндрической емкости (рисунок 1.9). Такую емкость можно считать осесимметричной, однако если ее положить горизонтально, то нагрузка станет несимметрична оси и емкость нельзя рассматривать как осесимметричную оболочку (рисунок 1.10).

H2O

 

 

Рисунок 1.9- Осесимметричная оболочка

 

Рисунок 1.10 – Схема емкости, которая не относится к осесимметричным оболочкам

В настоящем разделе рассматриваются наиболее часто применяемые осесимметричные оболочки постоянной толщины.

Рассмотрим еще некоторые параметры оболочек.

Меридианами называются кривые, образованные пересечением срединной поверхности плоскостями, проходящими через ось симметрии оболочки (рисунок 1.11).

Параллелями (параллельными кругами или кольцевыми сечениями) называются окружности, образованные пересечением срединной поверхности плоскостью, перпендикулярной оси оболочки.

Полюсом оболочки называется точка пересечения срединной поверхности с осью.

Рисунок 1.11 – Основные параметры оболочки

Параметры r_m, r_t называются радиусами кривизны соответственно меридиана и параллельного круга (рисунок 1.12).

 

Рисунок 1.12 – Радиусы кривизны оболочек

 

Оболочки вращения широко применяются в различных отраслях техники.

Геометрическая форма объектов, которые могут быть причислены к оболочкам или пластинам, чрезвычайно разнообразна: в машиностроении - это корпуса всевозможных машин; в гражданском и промышленном строительстве - покрытия и перекрытия, навесы, карнизы; в кораблестроении - корпуса судов, сухих и плавучих доков; в авиастроении - фюзеляжи и крылья самолетов; в подвижном составе железнодорожного транспорта, кузова вагонов, цистерны, несущие конструкции локомотивов; в атомной энергетике - защитная конструкция атомных станций, корпуса реакторов и т.д.

Колонные аппараты, элементы трубопроводов, корпуса насосов и компрессоров, резервуары, воздушные и газовые баллоны также обычно представляют собой сочетание оболочек вращения цилиндрической, шаровой, эллиптической или каплевидной формы (рисунок 1.13).