Динамика вращательного движения твердого тела.

При рассмотрении динамики поступательного движения материальной точки в дополнение к кинематическим величинам были введены сила, масса и импульс (динамические характеристики).

Для изучения динамики вращательного движения также вводят новые величины – момент силы, момент инерции и момент импульса.

а) Момент силы: Рассмотрим движение тела, имеющее ось вращения О₁О₂, под действием произвольной силы F.

Разложим F на F_n и F_τ. F_n – вызывает поступательное движение тела, но если ось закреплена, то ее действие равно нулю. F_τ – направлена по касательной и вызывает вращение тела вокруг оси.

Вращательным моментом М (или моментом силы относительно оси) называется величина, равная произведению силы на плечо (плечо ℓ – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы):

Или другими словами:

Момент силы равен векторному произведению радиуса-вектора, проведенного в точку приложения силы, на эту силу:

где α – угол между векторами и

Fr

М

O2

O

O1

ω

Момент силы – вектор, его направление связано с направлением действия силы правилом буравчика (правого винта).

б) Момент инерции:

Согласно второму закону Ньютона:

F_τ = ma_τ, умножим на r

F_τ∙r = ma_τ∙r,

учитывая, что a_τ = rε, получаем

М = mr²ε

I = mr²– момент инерции материальной точки.

Моментом инерции материальной точки относительно центра вращения, называется величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния до центра вращения.

Таким образом, второй закон Ньютона для вращательного движения выглядит следующим образом: M= Iε

Момент инерции I тела зависит:

а) от формы тела;

в) от того, относительно какой оси вращается тело;

б) от размеров тела;

г) от распределения массы по объему тела.

Неподвижная ось вращения может проходить как через центр инерции тела, так и вне его. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, можно найти по теореме Штейнера:

Момент инерции тела I, относительно произвольной оси, равен сумме момента инерции тела I _c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между этими осями.

I = I_c + md²

Приведем примеры моментов инерции для однородных тел простейшей формы:

1. Тонкое кольцо – относительно оси симметрии:

I = mR²

2. Диск – относительно оси, совпадающей с диаметром:

3.Диск – относительно оси симметрии:

4. Шар – относительно оси, проходящей через центр шара:

5. Прямой тонкий стержень – относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину:

6. Прямой тонкий стержень – относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец:

В) Момент импульса.

Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую из n материальных точек. По второму закону Ньютона уравнение движения i -той материальной точки может быть представлено:

Умножим векторно обе части уравнения на радиус-вектор, проведенный в i -тую материальную точку из начала координат.

Получим:

Легко видеть, что из левой части полученного выражения можно вынести дифференциал d/dt. Таким образом:

(1)

Векторное произведение радиуса-вектора i -той материальной точки на ее импульс называется моментом импульса i -той материальной точки:

Единица момента импульса: [L] = 1 кг·м²/с

Вектор момента импульса перпендикулярен плоскости, где лежат вектора r и p, и образует с ними правую тройку векторов.

Справа в выражении (1) стоит сумма моментов всех внешних сил. Следовательно, это уравнение можно переписать в следующем виде:

(2)

Выражение (2) является основным законом динамики вращательного движения для системы материальных точек: скорость изменения момента импульса системы относительно неподвижной точки равна результирующему моменту всех внешних сил, действующих на систему.

Пусть тело, состоящее из n-ого числа точек, вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω.

Учтем, что r перпендикулярен v. Получим:

Для всего тела окончательно имеем:

Из (2) уравнения следует, что при отсутствии внешних сил

Следовательно, для замкнутой системы выполняется закон сохранения момента импульса:

Момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Сохраняется не только величина момента импульса, но и направление его оси вращения.

Пример:

1) Скамья Жуковского: скамья раскручена, и руки человека опущены. Человек расставляет руки с гантелями в стороны, скорость движения резко уменьшается.

(I ω = const = mr²ω) → увеличение r приводит к уменьшению ω, чтобы произведение mr²ω оставалось постоянным.

2) Гироскопы.