Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела.

До сих пор мы изучали движения тел, которые можно было рассматривать в данных условиях как материальные точки. Однако существуют движения, при которых существенна конечная протяжённость тел. В дальнейшем мы будем рассматривать абсолютно твёрдое тело, которое может участвовать как в поступательном движении, так и во вращательном.

Вращательным движением называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения.

При поступательном движении все точки тела имеют одни и те же кинематические характеристики (радиус-вектор, скорость, ускорение), поэтому для описания положения тела в пространстве в любой момент времени можно пользоваться уравнениями, полученными для материальной точки, принимая за нее любую точку тела. При вращательном движении радиус-вектор, путь, скорость и ускорение различных точек тела отличаются друг от друга. Поэтому помимо этих характеристик вводятся угловые величины.

Кинематика вращательного движения.

рис. 1.8

Рассмотрим вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси: О1О2 – ось вращения; А1О – радиус вращения. Все точки твердого тела (например, на радиусе А1О) за одно и тоже время описывают одинаковые углы. φ – угол поворота, определяет угловой путь, он аналогичен линейному пути S при поступательном движении.

Уравнение вращательного движения: φ = ¦(t) или:

, [ω] = рад/с (1)

где ω – угловая скорость тела, численно равная первой производной углового перемещения по времени.

Угловая скорость – вектор, направленный вдоль оси вращения и определяемый по правилу буравчика.

Угловая скорость характеризует направление и быстроту вращения тела вокруг оси. Если ω = const, то движение называется равномерным вращением вокруг неподвижной оси.

Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения Т, под которым понимают время одного полного оборота, т.е. тело поворачивается на угол 2π. Частотой ν вращения называют число оборотов за единицу времени. Таким образом Т=1/ν, а угловая скорость может быть выражена через период или частоту следующим образом:

Понятия периода и частоты вращения можно сохранить и для неравномерного движения, понимая под мгновенным значением периода то время, за которое тело совершило бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данным мгновенным значением угловой скорости.

Вектор угловой скорости может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется по модулю), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случае он меняется по направлению). В этом случае говорят о неравномерном вращении тела. Изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением: , (2)

где ε – угловое ускорение, измеряется в [рад/с²]

Из уравнения (2) следует, что при ускоренном вращении и совпадают по направлению, а при замедленном движении направлены в противоположные стороны.

Каждая точка твердого тела (например, т. А) движется по окружности радиуса r с линейной скоростью v. Тогда за время Dt тело повернется на угол ∆φ и при этом переместится на расстояние:

DS = RDφ или dS = Rdφ,

но ; (3)^a

и , (3)^б

Что касается нормального ускорения, то:

Таким образом, модуль полного линейного ускорения равен:

Из уравнений (1-3) следует:

а) линейные (тангенциальные) v_τ и a_τ для точек различных радиусов различны;

б) угловые ω и ε для всех точек твердого тела одинаковы.

Простейшие виды вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

1. Равномерное движение.

где φ₀ – значение угла поворота в начальный момент времени.

2. Равнопеременное вращение.