По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением
P m = I эквS, (2)
где S - площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном S = pR 2. Учитывая (1), (2) и (3), получим Р m = 
или 
Известно, что R = mv/(еB) (см. пример 8). Тогда для скорости v электрона находим 
. Подставив это выражение в (4) для магнитного момента Pm электрона получим 
Произведем вычисления:
№ 10. Электрон движется в однородном магнитном поле по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.
|
Р е ш е н и е.
Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (a ¹ p/2) к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на рис. скорость 
электрона на две составляющие: параллельную
Рис. 10 вектору индукции 
и перпендикулярную ему (
). Скорость 
в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовых линий. Скорость в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению 
(в отсутствие параллельной составляющей скорости движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном со скоростью и равномерном движении по окружности со скоростью .
Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением
. (1)
Найдем отношение R / v ^. Сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение a n = v 2/ R. Согласно второму закону Ньютона F л = ma n или
(2)
где v ^ = v·sina. Получим соотношение R / v ^ = m / eB и подставим его в формулу (1);
(3)
Произведем вычисления: 
Модуль скорости v определяем через v || и v ^: 
.
Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости: 
Параллельную составляющую скорости v || найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Tv ||, откуда v || = h / T. Подставив вместо Т правую часть выражения (3), получим
Таким образом, модуль скорости электрона 
Произведем вычисления:
№ 11. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда q a - частицы к ее массе m, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.
Р е ш е н и е.
Для того, чтобы найти отношение заряда q a - частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы: qU = mv2/2, откуда
(1)
Скорость v альфа-частицы определим из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся частицу действуют две силы: сила Лоренца F л = q 
направленная перпендикулярно скорости 
и вектору магнитной индукции 
; кулоновская сила F к = qE, сонаправленная с вектором напряженности 
электростатического поля.
|
Направим вектор магнитной индукции вдоль оси Оz, а вектор 
вдоль оси Oy (см. рис.), скорость - в положительном направлении оси Ох, тогда силы 
и 
будут направлены так, как показано на рис. 11.
Рис. 11 Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил Кулона и Лоренца будет равна нулю + = 0. В проекции на ось Оу получим равенство (при этом ^ и sin a = 1): qE - qvB = 0, откуда
v = E / B (2)
Подставив (2) в формулу (1), получим 
Произведем вычисления: 
№ 12. Короткая катушка, содержащая N = 103 витков, равномерно вращается с частотой n = 10 с-1 относительно оси АС, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение э.д.с. индукции e для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a = 600 с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см2.
Р е ш е н и е.
Мгновенное значение э.д.с. индукции ei определяется законом Фарадея
. (1)
Потокосцепление Y = NФ, где N - число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив это выражение в формулу (1), получим
|
. (2)
При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку, изменяется по закону Ф =BS· cosj = BS· cos wt, где В - магнитная индукция; S - площадь катушки; j - угол между 
и 
; w - угловая скорость вращения.
Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и, продифференцировав по
Рис. 12 времени, найдем мгновенное значение э.д.с. индукции: ei = ωNBS· sinw t.
Учитывая, что угловая скорость вращения w катушки связана с частотой вращения n соотношением w = 2p n и что угол w t = p/2 - a (см. рис.), sin (p/2 - a) = cosa, получим ei = 2p nNBS· cos a.
Произведем вычисления: ei = 2×3,14×10×103×0,04×10-2×0,5 = 25,1 В.
№ 13. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 300 с линиями магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.
Р е ш е н и е.
При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет э.д.с. индукции 
Возникшая э.д.с. индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить по закону Ома для полной цепи I i = ei/ R, где R - сопротивление рамки. Тогда 
.
Так как мгновенное значение силы индукционного тока I i = dq / dt, то предыдущее выражение можно переписать в виде 
,
откуда
(1)
Проинтегрировав выражение (1), найдем 
или 
.
При выключенном поле Ф 2 = 0, и последнее равенство перепишется в виде q = Ф 1/ R. (2)
По определению магнитного потока Ф 1 = BS· cosa. В нашем случае площадь рамки S = а 2. Тогда
Ф 1 = Ва 2cosa. (3)
Подставив (3) в (2), получим 
.
Произведем вычисления: 
.
№ 14. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол j = 900. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Р е ш е н и е.
На контур с током в магнитном поле действует момент силы (см. рис. 13)
M = p m B sin j, (1)
где p m = IS= Ia 2 - магнитный момент контура; В - индукция магнитного поля; j - угол между векторами 
(направлен по нормали к контуру) и .
|
По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, угол j = 0, т. е. векторы и сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим
Рис. 13 формулу работы в дифференциальной форме dA = Mdj. Учитывая формулу (1), получаем dA = IBa 2sinj d j.
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол 
. Работа при повороте на угол j = 900
(2)
Произведем вычисления: А = 100× 1 (0,1)2 = 1 Дж.
Задачу можно решить другим способом.
Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур: А = -IDФ = I(Ф 1 - Ф 2), где Ф 1 - магнитный поток до перемещения, Ф 2 - после. Ф 1 = BS cos00 = BS; Ф 2 = BS cos900 = 0. Следовательно, А = IBS = IBa 2, что совпадает с формулой (2).
№ 15. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.
Р е ш е н и е.
Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой:
. (1)
Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемости m сердечника, т.е. L = mm 0 n 2 V, где m 0 = магнитная постоянная.
Магнитную проницаемость можно выразить следующей формулой: 
где В - индукция магнитного поля, Н - напряженность.
Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L и магнитной проницаемости, получим 
.
Объем сердечника выразим через длину l и сечение S 
Напряженность магнитного поля найдем по формуле: Н = nI.
Подставив данные в единицах СИ, получим: Н = 2×103× 0,5 А/м = 103 А/м.
Значению напряженности намагничивающего поля в 103 А/м в железе соответствует индукция В = 1,3 Тл (см. график зависимости между Н и В в приложении).
Произведем вычисления:
№ 16. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода 0,2 мм, диаметр соленоида – 5 см. По соленоиду течет ток 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.
Р е ш е н и е.
Количество электричества dq, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством: dq = Idt. Общее количество электричества, протекшее через проводник за время t будет: q = 
.
Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой: 
где I 0 - сила тока до замыкания, R - сопротивление обмотки соленоида, L - индуктивность соленоида.
Внося выражение для силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ¥ (при t ®¥, I ® 0), получим:
Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку.
(1)
Найдем L и R. Индуктивность соленоида
. (2)
Сопротивление обмотки соленоида
(3)
Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что 
, получим:
.
4.2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Напряженность магнитного поля Н = 100 А/м. Вычислить магнитную индукцию В этого поля в вакууме. (Ответ. 126 мкТл).
2. По двум длинным проводам текут в одинаковом направлении токи I 1 = 10 A и I 2 = 15 A. Расстояние между проводами а = 10 см. Определить напряженность Н магнитного поля в точке, удаленной от первого провода на расстояние r 1 = 8 см и от второго на r 2 = 6 см. (Ответ. 44,5 А/м).
3. Решить задачу 2 при условии, что токи текут в противоположных направлениях. Точка удалена от первого провода на r 1 = 15 см и от второго на r 2 = 10 см. (Ответ. 17,4 А/м).
4. По тонкому проводнику, изогнутому в виде правильного шестиугольника со стороной а = 10 см, идет ток силой I = 20 А. Определить магнитную индукцию в центре шестиугольника. (Ответ. 138 мкТл).
5. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к другу витков диаметром d = 0,2 мм. Определить магнитную индукцию В на оси соленоида, если по проводнику идет ток силой I = 0,5 А. (Ответ. 6,28 мТл).
6. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл помещен прямой проводник длиной l = 20 см (подводящие провода находятся вне поля). Определить силу F, действующую на проводник, если по нему течет ток силой I = 5 А, а угол j между направлением тока и вектором магнитной индукции равен 30 0. (Ответ. 50 мН).
7. Рамка с током силой I = 5 А содержит N = 20 витков тонкого провода. Определить магнитный момент р m рамки с током, если ее площадь S = 10 см2. (Ответ. 0,1 Ам2).
8. По витку радиусом R = 10 см течет ток I = 50 А. Виток помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл. Определить момент силы М, действующей на виток, если плоскость витка составляет угол j = 600 с линиями индукции. (Ответ. 0,157 Н м).
9. Протон влетел в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции и описал дугу радиусом R = 10 см. Определить скорость v протона, если магнитная индукция В = 1 Тл. (Ответ. 9,57×106 м/с).
10. Определить частоту n обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. (Ответ. 2,8×1010с-1).
11. Электрон в однородном магнитном поле движется по винтовой линии радиусом R = 5 см и шагом h = 20 см. Определить скорость v электрона, если магнитная индукция В = 0,1 мТл. (Ответ. 1,04×106 м/с).
12. Кольцо радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,138 Тл. Плоскость кольца составляет угол j= 300 с линиями индукции. Вычислить магнитный поток Ф, пронизывающий кольцо. (Ответ. 5 мВб).
13. По проводнику, согнутому в виде квадрата со стороной а = 10 см, течет ток силой I =20 А. Плоскость квадрата перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. Определить работу А, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить проводник за пределы поля. Магнитная индукция В = 0,1 Тл. Поле считать однородным. (Ответ. 0,02 Дж).
14. Проводник длиной l = 1 м движется со скоростью v = 5 м/с перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Определить магнитную индукцию В, если на концах проводника возникает разность потенциалов U = 0,02 В. (Ответ. 4 мТл).
15. Рамка площадью S = 50 см2, содержащая N = 100 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Определить максимальную э.д.с. индукции emax, если ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции, а рамка вращается с частотой n = 96 об/мин. (Ответ. 2,01 В).
16. Кольцо из проволоки сопротивлением R = 1 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 0,4 Тл). Плоскость кольца составляет угол j = 900 с линиями индукции. Определить заряд q, который протечет по кольцу, если его выдернуть из поля. Площадь кольца S = 10 см2. (Ответ. 0,4 Кл).
17. Соленоид содержит N = 4000 витков провода, по которому течет ток силой I = 20 А. Определить магнитный поток Ф и потокосцепление y, если индуктивность L = 0,4 Гн. (Ответ. 2 мВб. 8 Вб).
18. На картонный каркас длиной l = 50 см и площадью сечения S = 4 см2 намотан в один слой провод диаметром d = 0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Определить индуктивность L получившегося соленоида. (Ответ. 6,28 мГн).
19. Определить силу тока в цепи через время t = 0,01 с после ее размыкания. Сопротивление цепи r = 20 Ом и индуктивность L = 0,1 Гн. Сила тока до размыкания цепи I 0 = 50 А. (Ответ. 6,75 А).
20. По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,2 Гн течет ток силой I = 10 А. Определить энергию W магнитного поля соленоида. (Ответ. 10 Дж).
4.3. ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ
|
1. Указать все случаи, когда напряженность магнитного поля в точке А направлена за плоскость рисунка (I 1 = I 2).
1. 2. 3. 4.
|
2. Поле создано двумя длинными параллельными проводами с токами I 1 = I 2 = I. Через точку А пролетает электрон. Как направлена сила, действующая на электрон?
Варианты ответа:
1) влево, 2) вправо, 3) к нам, 4) от нас
|
3. По контуру АВСА идет ток I = 12 А. Определить магнитную индукцию в точке А, если радиус дуги АВ = АС = 10 см, а угол a = 600.
Варианты ответа: 1) 13 мкТл; 2) 6,3 мкТл; 3) 19 мкТл; 4) 25 мкТл; 5) 36 мкТл.
4. Предположим, что по длинному прямому проводу, лежащему недалеко от Вас в плоскости листа, течет ток в направлении слева направо. Между Вами и проводом в том же направлении движется электрон. Указать верную комбинацию направлений вектора магнитной индукции в месте нахождения электрона и силы, действующей на этот электрон.
Вектор магнитной индукции: Сила:
1) вниз от плоскости листа от провода
2) вверх от плоскости листа к проводу
3) вверх от плоскости листа от провода
4) вниз от плоскости листа к проводу
5) вверх от плоскости листа вдоль провода
|
5. Две заряженные частицы, имеющие одинаковые скорости, попадают в однородное магнитное поле так, что 
. Направления движения частиц вдоль траекторий (окружности одинакового радиуса) противоположны.
На какие вопросы Вы ответите «да»?
1) Совпадают ли удельные заряды частиц по величине?
2) Совпадают ли периоды их вращения?
3) Является ли частица, движущаяся по траектории I, отрицательной, а по траектории II - положительной?
4) Является ли частица, движущаяся по траектории I, положительной, а по траектории II - отрицательной?
6. В магнитном поле, индукция которого 0,5 Тл, вращается стержень длиной 1 м. Ось вращения проходит через конец стержня перпендикулярно стержню и параллельно магнитному полю. Каково число силовых линий индукции, пересекаемых стержнем за один оборот (через площадь 1 м2 перпендикулярно полю проводят число силовых линий, равное В)?
Варианты ответа:
1) 0; 2) 0,05; 3) 0,32; 4) 50; 5) 64.
7. Виток, по которому течет ток I = 20 A, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,016 Тл. Диаметр витка d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы перенести виток за пределы поля?
Варианты ответа:
1) 25×10-4 Дж; 2) 50×10-2 Дж; 3) 25×10-2 Дж; 4) 50×10-4 Дж; 5) 12×10-4 Дж.
|
8. Рамка с током расположена перпендикулярно линиям магнитной индукции. Рамку повернули относительно оси ОО' сначала на 600, а затем, еще на 300 по часовой стрелке. Каково отношение работы А 1 при первом повороте к работе А 2 при втором повороте?
Варианты ответа:
1) 1; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
|
9. Потокосцепление катушки Y изменяется со временем, как показано на рис. Определить э.д.с., возникшую в катушке при изменении Y по закону, соответствующему участкам 1 и 2.
Варианты ответа:
1) e 1 = -1 В, e 2 = 0,33 В; 2) e 1 = 1 В, e 2 = -0,33 В;
3) e 1 = -2 В, e 2 = 1 В; 4) e 1 = 2 В, e 2 = -1 В.
4.4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
| № | Номера задач | |||||||||
