Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


где f(t) Ц некотора€ функци€ времени.




ѕеремещение материальной точки

,

где - ее радиусы Ц векторы в начальном и конечном положени€х,

соответственно.

ѕройденный путь Ц длина траектории.

2. ¬ектор средней скорости

.

—редн€€ скорость при движении вдоль оси х

< v x> =

—редн€€ путева€ скорость (скорость вдоль траектории)

< v > =

где D S Ц путь,пройденный точкой за интервал времени D t.

ћгновенна€ скорость

,

v x =

3. —реднее ускорение

,

< a x> =

ћгновенное ускорение

,

a x =

4. ѕри криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составл€ющих

 
 

.

јбсолютное значение этих ускорений

а n = v2/R; a τ = d v /d t; ,

где R Ц радиус кривизны в данной точке траектории.

5.  инематическое уравнение равномерного движени€ материальной точки вдоль оси х (v = const, a = 0)

х = х 0 + vt,

где х 0 Ц начальна€ координата, t Ц врем€.

6.  инематическое уравнение равнопеременного движени€ вдоль оси х (а = const)

x = x 0 + v 0 t + at 2/2,

где v 0 Ц начальна€ скорость, t Ц врем€.

—корость точки при равнопеременном движении

v = v 0 + at.

7. ѕоложение твердого тела (при заданной оси вращени€) определ€етс€ углом поворота (или угловым перемещением) .  инематическое уравнение вращательного движени€:

= f (t).

”глова€ скорость

=

”гловое ускорение

=

”гловое перемещение, углова€ скорость и угловое ускорение €вл€ютс€ псевдовекторами, их направлени€ совпадают с осью вращени€ и определ€ютс€ по правилу правого винта.

8.  инематическое уравнение равномерного вращени€ (ω = const, ε = 0)

φ = φ 0t,

где φ 0 Ц начальное угловое перемещение; t Ц врем€.

9. - период вращени€ (врем€ одного полного оборота)

“ = t /N;

ν Ц частота вращени€ (число оборотов в единицу времени)

ν = N / T или ν = 1/ ,

где N Ц число оборотов, совершаемых телом за врем€ t,

ω = .

10.  инематическое уравнение равнопеременного вращени€ (ε = const)

φ = φ0 + ω0 t + ε t 2/2,

где ω0 Ц начальна€ углова€ скорость, φ = 2π N.

”глова€ скорость тела при равнопеременном вращении

ω = ω0 + ε t.

11. —в€зь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки:

S = φR; v = wR; a t = eR; a n =

 

 олебани€ и волны

 

12.  инематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

x = A sin(wt+j 0),

где x Ц смещение; ј Ц амплитуда колебаний; w - кругова€ или циклическа€ частота; j 0 Ц начальна€ фаза.

13. —корость материальной точки, совершающей гармонические колебани€

v = A wcos(w t + j 0) = v msin(ω t + φ0 + π/2).

14. ”скорение материальной точки, совершающей гармонические колебани€

a = A w2sin(w t + j 0) = а msin(w t + j 0 + π).

15. —ложение гармонических колебаний одного направлени€ и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебани€

ј =

б) начальна€ фаза результирующего колебани€

16. “раектори€ точки, участвующей в двух взаимно перпендикул€рных колебани€х (x = A 1cos w t, y = A 2cos(w t + j 0)):

а) y = (если разность фаз D j = 0);

б) y = (если разность фаз D j = ±p);

в) (если разность фаз D j = ±p/2).

17. ”равнение плоской бегущей волны

y = A cos w (t - ),

где y Ц смещение любой из точек среды с координатой х в момент t, v Ц скорость распространени€ колебаний в среде.

18. —в€зь разности фаз D j колебаний с рассто€нием D х между точками среды, отсчитанным в направлении распространени€ колебаний

,

где l - длина волны.

ƒинамика

 

1. ѕоступательное движение

 

19. »мпульс материальной точки, движущейс€ поступательно со скоростью v

.

20. ¬торой закон Ќьютона

,

,

где - сила, действующа€ на тело.

21. —илы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

F = - k x,

где к - коэффициент упругости (в случае пружины Ц жесткость); х Ц абсолютна€ деформаци€;

б) вес - сила, с которой тело действует на опору или подвес;

в) сила гравитационного прит€жени€

,

где m 1 и m 2 Ц массы взаимодействующих тел; r Ц рассто€ние между телами (тела Ц материальные точки или сферы). —илу можно выразить и через напр€женность G гравитационного пол€

F = mG;

г) сила т€жести

F = mg,

где g Ц ускорение свободного падени€;

д) сила трени€ скольжени€

F тр = m N,

где m - коэффициент трени€; N Ц сила нормальной реакции опоры.

22. «акон сохранени€ импульса

ƒл€ двух тел (i = 2)

,

где v 1 и v 2 Ц скорости тел в момент времени, прин€тый за начальный; u 1 и u 2 Ц скорости тех же тел в момент времени, прин€тый за конечный.

23.  инетическа€ энерги€ тела, движущегос€ поступательно

24. ѕотенциальна€ энерги€:

а) упруго деформированной пружины

,

где к Ц жесткость пружины; х Ц абсолютна€ деформаци€;

б) гравитационного взаимодействи€

,

где g - гравитационна€ посто€нна€; m 1 и m 2 Ц массы взаимодействующих тел; r Ц рассто€ние между ними (тела Ц материальные точки или сферы);

в) тела, наход€щегос€ в однородном поле силы т€жести,

ѕ = mgh,

где g Ц ускорение свободного падени€; h Ц высота тела над уровнем, прин€тым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R - радиус «емли).

25. «акон сохранени€ механической энергии

≈ = “ + ѕ = const,

если система консервативна, т.е. работа неконсервативных сил ј н/к (F , F cопр) = 0.

26. ћеханическа€ работа

A = F s cosa,

или

ј = D≈ = ≈ 2 Ц 1,

работа Ц как мера изменени€ энергии.

ј консервативных = - Δѕ, ј н/к = ћ2 Ц ћ1.

 

2. ¬ращательное движение

 

27. ћомент импульса тела, вращающегос€ относительно неподвижной оси

,

где w - углова€ скорость тела.

28. ќсновное уравнение динамики вращательного движени€ относительно неподвижной оси

= I ,

где ћ Ц результирующий момент внешних сил, действующих на тело; e - угловое ускорение; I Ц момент инерции тела относительно оси вращени€.

29. ћоменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проход€щей через центр масс:

а) стержн€ длины l относительно оси, перпендикул€рной стержню,

;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикул€рной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра);

I = mR 2;

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикул€рной плоскости диска,

.

 
 

30. «акон сохранени€ момента импульса системы тел, вращающихс€ вокруг неподвижной оси

дл€ двух тел

I 1w1 + I 2w2 = I 1w′1 + I w2,

где I 1, w1, I 2, w2 Ц моменты инерции и угловые скорости тел в момент времени, прин€тый за начальный; I 1, w′1, I, w2 Ц те же величины в момент времени, прин€тый за конечный.

31.  инетическа€ энерги€ тела, вращающегос€ вокруг неподвижной оси

 

 

4.1. ѕ–»ћ≈–џ –≈Ў≈Ќ»я «јƒј„

 

є 1. «ависимость угла поворота тела от времени даетс€ уравнением j = ј + ¬t +Ct 2 + Dt 3, где ј = 1 рад, ¬ = 0,1 рад/с, D = 0,01 рад/с2. Ќайти: а) угловой путь, пройденный за 3 с от начала отсчета времени; б) среднюю угловую скорость; в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала движени€.

– е ш е н и е.

”гловой путь, пройденный за 3 с, равен j = j 2 - j 1, где j 2 - угловой путь, пройденный за 3 с (t 2 = 3c); j 1 - угловой путь к моменту времени t 1 = 0 c.

а) из зависимости углового пути от времени j (t) (см. условие задачи) найдем j 1 и j 2:

j 1 = ј = 1 рад.

j 2 = ј + ¬t 22 + Dt 23 = 1 + 0,1×3 + 0,02×32 + 0,01×33 = 1,75 рад.

j = j 2 - j 1 = 1,75 - 1 = 0,75 рад.

б) средн€€ углова€ скорость за 3 с от начала вращени€ выражаетс€ формулой

в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала вращени€

,

где w 2 - углова€ скорость в момент времени t 2 = 3 c; w 1 - углова€ скорость в момент времени t 1 = 0 с.

ћгновенную угловую скорость найдем по определению

= B + 2 Ct + 3 Dt 2.

ѕодставим числовые данные:

t 2 = 3 с. w 2 = 0,1 + 2× 0,2 ×3 + 3×0,01×32 = 0,49 рад/с.

t 1 = 0 c. w 1 = B = 0,1 рад/с.

—реднее угловое ускорение

< e > = рад/с2.

є 2. “ело вращаетс€ вокруг неподвижной оси по закону

j = 10 + 20 t - 2 t 2.

Ќайти полное ускорение точки (величину и направление), наход€щейс€ на рассто€нии 0,1 м от оси вращени€, дл€ момента времени t = 4 с.

– е ш е н и е.

 ажда€ точка вращающегос€ тела описывает окружность. ѕолное ускорение точки, движущейс€ по кривой линии, может быть найдено как геометрическа€ сумма тангенциального , направленного по касательной к траектории, и нормального , направленного к центру кривизны траектории:

(1)

“ангенциальное и нормальное ускорени€ точки вращающегос€ тела выражаютс€ формулами:

а t = e R,(2)

a n = w 2 R, (3)

где w - углова€ скорость тела; e - его угловое ускорение; R - рассто€ние точки от оси вращени€.

ѕодставл€€ формулы (2) и (3) в (1), находим

. (4)

”глова€ скорость вращающегос€ тела равна первой производной от угла поворота по времени

¬ момент времени t = 4 с углова€ скорость

w = (20 - 4×4)с-1 = 4 рад/с.

”гловое ускорение вращающегос€ тела равно первой производной от угловой скорости по времени

Ёто выражение не содержит аргумента времени t, следовательно, угловое ускорение имеет посто€нное значение, не завис€щее от времени.

ѕодставив значени€ w и e в формулу (4), получим

є 3. »з оруди€ вылетает снар€д со скоростью v 0 = 1000 м/с под углом 300 к горизонту (сопротивление воздуха не учитывать).

ќпределить: радиус кривизны траектории R в верхней точке полета; максимальную высоту подъема; врем€ движени€; рассто€ние S, на которое упадет снар€д по горизонтали.

– е ш е н и е:

1. ѕринцип независимости: если тело участвует одновременно в нескольких движени€х, то одно движение от другого не зависит.

2. ѕринцип суперпозиции: однородные величины, относ€щиес€ к одному объекту, могут быть сложены.

ƒвижение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как сложное, состо€щее из двух более простых: равномерного - в горизонтальном направлении и равнопеременного - в вертикальном. “раекторией движени€ будет парабола.

Ќа чертеже обозначим оси 0x и 0y, траекторию движени€, начальную скорость v 0, угол бросани€ a, высоту подн€ти€ h, дальность полета S, скорость в момент падени€ v и угол падени€ b. –азложим векторы и на горизонтальные и вертикальные составл€ющие:

v 0x = v 0cos a,

v 0y = v 0sina.

«апишем уравнени€ скорости и пути дл€ обоих направлений. ѕо горизонтали:

v x = v 0x = v 0cos a = const., (1)

S = v x 2 t = (v 0cos a) t, (2)

где t - врем€ подн€ти€ снар€да до верхней точки.

 

ѕо вертикали:

v y = v 0y - gt = v 0sin a - gt. (3)

h = v 0 t sinα - gt 2/2. (4)

Ёто движение равнозамедленное.

1. –адиус кривизны траектории находим из формулы нормального ускорени€

ќпределим а n. ѕолное ускорение в любой точке траектории

.

¬ верхней точке траектории полна€ скорость определ€етс€ только составл€ющей скорости вдоль оси 0 , так как в этой точке v y = 0: v x = v 0x = const; ¬следствие того, что составл€юща€ скорости вдоль оси ќх Ц посто€нна€ величина, касательное ускорение в верхней точке траектории a t равно нулю. —ледовательно,

;

a n = g.

2. ¬ысоту h найдем по уравнению (4), а врем€ подъема по уравнению (3):

ѕодставив выражение времени t в формулу высоты h, получим

3. ѕуть S находим, примен€€ уравнение (3)

S = 2 v 0cos a = 2 .

 

є 4. Ћифт опускаетс€ вниз и перед остановкой движетс€ замедленно. ќпределить, с какой силой (вес тела) будет давить на пол лифта человек массой 60 кг, если ускорение лифта равно 4 м/с2.

– е ш е н и е.

1. «аписать II закон Ќьютона.

.

2. —делать схематический чертеж, на котором указать силы, действующие на тело, ускорение тела и систему отсчета: - сила т€жести; - сила нормальной реакции опоры (пола кабины). ѕо III закону Ќьютона вес тела численно равен силе нормальной реакции , противоположно направленной и приложенной к опоре: = - .

3. –асписать второй закон Ќьютона в векторной форме в соответствии с условием задачи

4. «аписать это уравнение в скал€рной форме, проектиру€ все векторы на ось (направление оси выбираетс€ произвольно):

х: N - mg = ma.

»з этого уравнени€ выразить N

N = mg + ma.

—ледовательно,

P = g(m + a).

ѕодставить числовые данные:

= 60(4 + 9,8) = 840 Ќ.

 

є 5. ¬агонетку массой 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон которой 300.  акую работу совершает сила т€ги на пути в 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с ускорением 0,2 м/с2?  оэффициент трени€ прин€ть равным 0,1.

– е ш е н и е.

–абота посто€нной силы т€ги F т определ€етс€ по формуле

A = F т S cos a.,

где α угол между силой и перемещением. —ила т€ги направлена вдоль перемещени€, поэтому угол a = 0 и cos a = 1.

1. .

2. —делать чертеж.

3. «аписать уравнение II закона Ќьютона в векторной форме.

Ќа тело действуют четыре силы:

“ак как силы направлены под углом друг к другу, то систему отсчета составим из двух взаимно перпендикул€рных осей x и y, развернув ее дл€ удобства так, что одну ось направим вдоль наклонной плоскости, а другую - перпендикул€рно ей.

4. «аписать уравнение в проекци€х на оси:

х: mg sin a - F т + F тр + 0 = - ma,

y: - mg cos a + 0 + 0 + N = 0,

F тр = m N,

где m - коэффициент трени€.

–ешить систему трех уравнений относительно F т

F т = mg sin a + m mg cos a + ma = m (g sin a + m g cos a + a).

5. A = F т S = m (g sin a + m g cos a + a) S.

ѕодставить числовые данные:

A = 3 103 (0,2 + 10×0,5 + 0,1×10×0,87)50 = 900 кƒж.

є 6. ћаховик, выполненный в виде диска радиусом 0,4 м и имеющий массу 100 кг, был раскручен до скорости вращени€ 480 об/мин и предоставлен самому себе. ѕод действием трени€ вала о подшипники маховик остановилс€ через 1 мин 20 с. ќпределить момент силы трени€ вала о подшипники.

– е ш е н и е.

»спользуем основное уравнение динамики вращательного движени€

ћ D t = Iw 2 - Iw 1,

где ћ - тормоз€щий момент; D t - врем€ действи€ тормоз€щего момента; I - момент инерции маховика; w 2 - конечна€ углова€ скорость; w 1 - начальна€ углова€ скорость.

–еша€ уравнение относительно ћ, получим:

Ќайдем числовые значени€ величин и подставим их в выражение дл€ M.

«нак Ђминусї означает, что момент ћ - тормоз€щий.

є 7. ∆елезнодорожна€ платформа с установленным на ней орудием движетс€ горизонтально со скоростью v 0 = 1 м/с. ћасса платформы вместе с орудием ћ = 2 ×104 кг. »з оруди€ выпускаетс€ снар€д по ходу платформы со скоростью u 1 = 800 м/с под углом a = 300 к горизонту. ћасса снар€да m = 20 кг. — какой скоростью u 2будет двигатьс€ платформа после выстрела?

– е ш е н и е.

1. «аписать закон сохранени€ импульса

2. —делать схематический чертеж с указанием импульсов тел системы, проекций и системы отсчета.

3. Ќаписать уравнение в проекци€х

(M - m) v 0 + mv 0 =

(M - m) u 2 + mu 1cos a,

4. –ешить уравнение относительно u 2

5. ѕодставить данные

 

є 8. ѕлатформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой m 1 = 150 кг вращаетс€ по инерции около вертикальной оси, дела€ n = 10 об/мин. ¬ центре платформы стоит человек массой m 2 = 60 кг.  акую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

– е ш е н и е.

1. «аписать закон сохранени€ момента импульса

или

I 1w1 + I 2w2 = I 1΄w1΄ + I 2΄w2΄.

2. «аписать закон дл€ задачи

(I 1 + I 2) w = (I 1 + I 2΄) w΄, (1)

 

где: I 1 - момент инерции платформы; I 2 - момент инерции человека, сто€щего в центре платформы; w - углова€ скорость платформы с человеком, сто€щим в центре; I 2΄ - момент инерции человека, сто€щего на краю платформы; w΄ - углова€ скорость платформы с человеком, сто€щим на ее краю.

3. Ћинейна€ скорость человека, сто€щего на краю платформы, св€зана с угловой скоростью соотношением:

v =w΄ R. (2)

4. ”гловую скорость w΄ выразить из уравнени€ (1)

и подставить в уравнение (2)

. (3)

5. ћомент инерции платформы - диска

момент инерции человека - материальной точки

I 2 = 0; I 2Т = m 2 R 2.

”глова€ скорость платформы w до перехода человека

w = 2 pn.

6. ѕодставить выражени€ I 1, I 2, I 2Т и w в формулу (3)

и упростить

7. ѕодставить числовые значени€ величин

 

є 9. “рамвайный вагон массой 16 т движетс€ по горизонтальному пути со скоростью 6 м/с.  акова должна быть тормоз€ща€ сила, чтобы остановить вагон на рассто€нии 10 м?

– е ш е н и е.

Ѕольшинство задач механики можно решать двум€ способами: использу€ законы динамики или с помощью законов сохранени€ и превращени€ энергии. ѕредлагаемую задачу решим вторым способом.

1. ќпределить, какие силы действуют в системе. “ак как в системе работают и консервативные силы (mg) и неконсервативные (F тр), а движение горизонтальное, удобно применить теорему об изменении кинетической энергии

2. —делать чертеж, на котором указать начальное и конечное положени€ тела, силы, скорость, ускорение и систему отсчета. ѕрин€ть горизонтальный путь по рельсам за нулевой уровень потенциальной энергии.

3. –асписать уравнение

.

 инетическа€ энерги€ в конечном состо€нии mv 22/2 = 0, работы сил т€жести и нормальной реакции опоры в направлении оси х тоже равны нулю (ј = F S cos a).

4. «аписать уравнение в окончательном варианте

.

5. ќпределить силу торможени€

ѕодставить данные

 

є 10. Ћюстра весом 98 Ќ висит на цепи, котора€ выдерживает нагрузку 196 Ќ. Ќа какой максимальный угол a можно отклонить люстру от положени€ равновеси€, чтобы при последующих колебани€х цепь не оборвалась?

– е ш е н и е.

1. ќпределить, какие силы действуют в системе (сила т€жести mg и сила нат€жени€ нити F н), и выбрать идею решени€. “ак как в задаче фиксируютс€ два положени€ тела, а система консервативна (работа неконсервативных сил равна нулю), то решить задачу можно с использованием закона сохранени€ энергии.

м = const, A нк = 0.

2. —делать чертеж. «а нулевой уровень потенциальной энергии удобно прин€ть уровень положени€ равновеси€ (т. ќ). ќтметить положени€ I и II системы, силы т€жести и нат€жени€, вектор нормального ускорени€, скорость при прохождении положени€ равновеси€, высоту h, на которую поднимаетс€ люстра, угол отклонени€ a.

3. –асписать закон сохранени€ энергии

мI = E мII; E пI + 0 = 0 + E кII; mgh = .

4. “ак как этого уравнени€ недостаточно дл€ нахождени€ неизвестного, применить II закон Ќьютона дл€ криволинейного движени€ и решить систему двух уравнений

1. mgh = ,

2. .

5. «аписать второе уравнение в скал€рной форме (через проекции на ось х):

х: , где R = l - длина нити.

»з первого уравнени€ выразить mv 2 и подставить в х)

F н - mg = .

6. ¬вести неизвестное, обратившись к рисунку.

»з треугольника ј¬—: ¬— = ј¬ cos a = l cos a.

h = l - l cos a = l (1- cos a)

¬ысотуподн€ти€ h подставить в рабочее уравнение и найти a

F н - mg = 2 mg (1- cos a),

cos a = ,

cos a = 0,5; a = 600.

є 11.  акую мощность N должен развить мотор самолета дл€ обеспечени€ подъема самолета на высоту h = 1 км, если масса самолета m = 3000 кг, а врем€ подъема t = 1 мин? ƒвижение считать равноускоренным.

– е ш е н и е.

1.  ак и в предыдущих задачах, определить силы, действующие в системе, выбрать идею решени€.

“ак как система неконсервативна - на самолет действуют консервативна€ сила т€жести () и неконсервативна€ сила т€ги (), - а движение вертикальное, удобно выбрать закон превращени€ полной механической энергии.

мII - мI = A нк,

где м = к + п.

2. —делать чертеж

3. –асписать уравнение

() - 0 = A “,

где A - работа силы т€ги мотора, 0 - полна€ энерги€ в положении I.

4. «аписать уравнение мощности по определению

и подставить в него выражение A .

5. ¬ыразить скорость v в конечном состо€нии II, использу€ уравнени€ равноускоренного движени€ v 2 - v 02= 2 ah и v = v 0 + at, где v 0 = 0.

h = v ср t = (0 + v) t /2,

.

6. ѕодставить v в формулу мощности

7. ѕроизвести вычислени€

N ср = 0,8 ћ¬т.

 

є 12. Ќа краю диска, масса которого m и радиус R, стоит человек массой M. ƒиск совершает вращательное движение с частотой n об/с. „ему равна кинетическа€ энерги€ системы? „ему равна работа внешних сил, в результате действи€ которых частота вращени€ увеличиваетс€ вдвое?

– е ш е н и е.

«аписать формулу кинетической энергии вращающегос€ тела

(1)

где I - момент инерции системы; w - углова€ скорость вращени€ системы.

¬ыразить момент инерции системы I и угловую скорость w. ћомент инерции системы складываетс€ из моментов инерции тел системы

I = I 1 + I 2,

где I 1 = - момент инерции диска; I 2 = - момент инерции человека. ”глова€ скорость w = 2p n. ѕодставить выражени€ I 1 и I 2 в формулу (1)

 

. (2)

–аботу сил определить по теореме об изменении кинетической энергии

.

»спользу€ уравнение (2) и условие n 2 = 2 n 1, записать

 

ј = p 2 4 n 2 R 2(m + 2M) - p 2 n 2 R 2(m + 2M) = 3 p 2 n 2 R 2(m + 2M).

є 13. ћатериальна€ точка массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебани€ по закону синуса с периодом = 2 с и начальной фазой j 0, равной нулю. ѕолна€ энерги€ колеблющейс€ точки = 0,1 мƒж.

“ребуетс€: найти амплитуду ј колебаний; написать закон данных колебаний x = f (t); найти наибольшее значение силы F max, действующей на точку.

– е ш е н и е.

1. «аписать закон гармонических колебаний

x = A sin w t.

“ак как закон не дает возможности определить амплитуду ј, обратитьс€ к условию задачи и воспользоватьс€ полной энергией . ѕолна€ энерги€ колеблющейс€ точки равна, например, ее максимальной кинетической энергии к,max.

—корость v колеблющейс€ точки определить, вз€в первую производную смещени€ х по времени

.

”честь, что v max = Aw (cos j =1) и подставить это выражение в уравнение энергии к,max

Ќайти амплитуду колебаний

.

¬ыразить амплитуду через период , учитыва€ что .

.

ѕроизвести вычислени€

w = p с-1

м.

2. написать уравнение гармонических колебаний дл€ данной точки:

х = 0,045sin pt.

3. записать второй закон Ќьютона

| F max| = ma.

”скорение колеблющейс€ точки найти, вз€в первую производную скорости по времени:

.

ћаксимальное ускорение (при sin w t = 1)

| a мах| = A w2.

«аписать выражение силы

| F max| = mA w2.

ѕроизвести вычислени€

F max = 0,01×0,045×3,142 Ќ = 4,44 10-3 Ќ.

 

є 14. —кладываютс€ два колебани€ одинакового направлени€, заданные уравнени€ми:

x 1 = cosp (t + 1/6),

x 2 = 2cosp (t + 1/2)

(длина в см, врем€ в с).

“ребуетс€: ќпределить амплитуды, периоды и начальные фазы складывающихс€ колебаний; Ќаписать уравнение результирующего колебани€.

– е ш е н и е.

1. «аписать уравнение гармонического колебани€ в общем виде:

x = A cos (). (1)

2. ѕривести заданные уравнени€ в соответствие с общим уравнением

х 1 = A cos (), (2)

х 2 = A cos (). (3)

3. —равнить уравнени€ (2) и (3) с (1). »з сравнени€: ј 1 = 1см; ј 2 = 2 см.

= pt; = pt; Þ T 1= 2c; T 2 = 2c.

j 01 = p / 6 рад = 300; j 02 = p / 2 рад = 900.

ƒл€ написани€ уравнени€ результирующего колебани€ необходимо определить параметры результирующего колебани€: T, ј, j 0.

1. “ак как периоды колебаний одинаковы, период результирующего колебани€ будет тот же T = 2c.

2. ƒл€ определени€ амплитуды результирующего колебани€ ј удобно воспользоватьс€ векторной диаграммой. ¬ системе координат х0y отложить под углами, соответствующими начальным фазам, векторы амплитуд и . Ќа них, как на сторонах, построить параллелограмм, диагональ которого и будет амплитудой результирующего колебани€. ≈е величину определить, использу€ теорему косинусов.

ј =

ѕодставить числовые значени€

см.

Ќачальную фазу результирующего колебани€ определить по тангенсу угла j 0.

,

откуда начальна€ фаза

.

ѕодставить данные

“аким образом параметры результирующего колебани€ найдены:

ј = 2,6 см; “ = 2 с; j = 0,4 p рад.

Ќаписать закон колебани€

) см

или

x = 2,6 cos p (t + 0,4) см.

є 15. ћатериальна€ точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикул€рных гармонических колебани€х, уравнени€ которых имеют вид:

x = cos pt, (1)

y = 2cos , (2)

(амплитуда - в см, врем€ - в с).

ќпределить траекторию точки и построить ее с соблюдением масштаба.

– е ш е н и е.

ƒл€ определени€ траектории необходимо получить зависимость координат y = f(x). ƒл€ этого из уравнений (1) и (2) исключить врем€. ѕрименив формулу косинуса половинного угла

можно записать

y=2 .

“ак как cos p t = x (1), то

; у = .

или

y 2 = 2 +2 x.

х у =
-1  
-0,75 ± 0,1
-0,5 ± 1
  ± 1,41
0,5 ± 1,73
  ± 2

ѕолученное уравнение представл€ет собой уравнение параболы, ось которой лежит на оси ќx.  ак показывают уравнени€ (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси ќx равна 1, а по оси ќy = 2. —ледовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от -1 до +1, а ординаты от -2 до +2.

ƒл€ построени€ траектории по уравнению (3) найти значени€ y, соответствующие р€ду значений х, удовлетвор€ющих условию | x | £ 1.

Ќачертив координатные оси и выбрав масштаб, построить точки. —оединив их плавной кривой, получить траекторию точки. ќна представл€ет собой часть параболы, заключенной внутри пр€моугольника амплитуд ј¬—ƒ. »з уравнений (1) и (2) находим периоды колебаний по горизонтальной и вертикальной ос€м х и у

, х = соs pt, y = 2cos .

t, с x y положение точки
      положение ј
  -1   вершина параболы
    - 2 положение D

ѕриравнива€ аргументы, выразим х

аналогично - у = 4 с.

—ледовательно, когда точка совершит одно полное колебание по оси ќx, она совершит только половину полного колебани€ по оси ќy. ѕосле этого она будет двигатьс€ в обратном направлении.

 

є 16. ‘изический ма€тник представл€ет собой стержень длиной l = 1 м и массой 3 m 1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром D = l /2и массой m 1. √оризонтальна€ ось ма€тника проходит через середину стержн€ перпендикул€рно ему. ќпределить период T колебаний этого ма€тника.

– е ш е н и е.

1. «аписать формулу периода колебаний физического ма€тника

(1)

где I - момент инерции ма€тника относительно оси колебаний; m - его масса; d - рассто€ние от центра масс ма€тника (точка —) до оси колебаний (точка ќ).

2. ќпределить момент инерции системы. ћомент инерции ма€тника равен сумме моментов инерции стержн€ I 1 и обруча I 2

I = I 1 + I 2. (2)

ћомент инерции стержн€ относительно оси, перпендикул€рной стержню и проход€щей через его центр масс, определить по формуле . ¬ данном случае m = 3m и

.

ћомент инерции обруча найти по теореме Ўтейнера

I 2 = I 0 + ma 2,

где I2 = момент инерции обруча относительно произвольной оси; I 0 - момент инерции, относительно оси, проход€щей через центр масс обруча параллельно заданной оси; а - рассто€ние между указанными ос€ми.

Ќайти момент инерции системы, подставив выражени€ I 1 и I 2 в формулу (2).

.

3. Ќайти рассто€ние d от оси колебаний до центра масс ма€тника

4. ќпределить период колебаний , подставив в формулу (1) момент инерции ма€тника I, рассто€ние d, массу системы (m = m 1 +3 m 1 = 4 m 1).

= 2,17 с.

 

є 17. ¬олна распростран€етс€ по пр€мой со скоростью v = 20 м/с. ƒве точки, наход€щиес€ на этой пр€мой на рассто€нии l 1 = 12 м и l 2 = 15 м от источника волн, колеблютс€ по закону синуса с одинаковыми амплитудами ј = 0,1 м и с разностью фаз Dj = 0,75 p. Ќайти: длину волны l; написать уравнение волны; найти смещение указанных точек в момент времени t = 1,2 с.

– е ш е н и е.

1. “очки, наход€щиес€ друг от друга на рассто€нии, равном длине волны l, колеблютс€ с разностью фаз, равной 2 p; точки, наход€щиес€ друг от друга на любом рассто€нии D l, колеблютс€ с разностью фаз

–ешить это уравнение относительно l

,

где D l - рассто€ние между точками, равное 3 м.

ѕодставить значени€ величин

= 8 м.

2. «аписать уравнение плоской волны

s = A sin (w t Ц k x),

где к - волновое число 2p/ l,

или s = A sin w (t - ).

Ќайти циклическую частоту w,

реша€ систему относительно w, получаем

Ќаписать уравнение волны

s = 0,1sin5 p (t - ).

3. Ќайти смещение s, подставл€€ в это уравнение значени€ t и l.

s 1 = 0,1sin5p(1,2 - 12/20) = 0,1sin3 p = 0;

s 2 = 0,1sin5p(1,2 - 15/20) = 0,1sin2,25 p = 1sin0,25p = 0,071 м.

 

4.2. “–≈Ќ»–ќ¬ќ„Ќџ≈ «јƒј„»

 

1. “очка движетс€ по окружности радиусом R = 4 м. «акон ее движени€ выражаетс€ уравнением S = A + Bt 2, где ј = 6 м, ¬ = -2 м/с2. Ќайти момент времени t, когда нормальное ускорение точки а n = 9 м/с2, скорость v, тангенциальное ускорение а t и полное ускорение точки а. (ќтвет. 1,5 с; -6 м/c; -4 м/c2; 9,84 м/с2).

2. ƒве материальные точки движутс€ согласно уравнени€м: x = A 1 t +B 1 t 2 + C 1 t 3 и x 2 = A 2 t + B 2 t 2 + C 2 t 3, где ј 1 = 4 м/с; ¬ 1 = 8 м/с2; 1 = -16 м/с3; A 2 = 2 м/c; B 2 = -4 м/с2; 2 = 1 м/с3. ¬ какой момент времени t ускорени€ этих точек будут одинаковыми? Ќайти скорости v 1 и v 2 точек в этот момент. (ќтвет. 0,235 с; 5,1 м/с; 0,286 м/с).

3. Ўар массой m 1 = 10 кг сталкиваетс€ с шаром массой m 2 = 4 кг. —корость первого шара v 1 = 4 м/c, второго - v 2 = 12 м/с. Ќайти общую скорость u шаров после удара в двух случа€х: 1) когда малый шар нагон€ет большой шар, движущийс€ в том же направлении; 2) когда шары движутс€ навстречу друг другу. ”дар считать пр€мым, центральным, неупругим. (ќтвет. 6,28 м/с; -0, 573 м/с).

4. ¬ лодке массой ћ = 240 кг стоит человек массой m = 60 кг. Ћодка плывет со скоростью v = 2 м/с. „еловек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью u = 4 м/c (относительно лодки). Ќайти скорость лодки после прыжка человека: 1) вперед по движению лодка; 2) в сторону, противоположную движению лодки. (ќтвет. 1м/с; 3 м/с).

5. „еловек, сто€щий в лодке, сделал шесть шагов вдоль нее и остановилс€. Ќа сколько шагов передвинулась лодка, если масса лодки в два раза больше массы человека или в два раза меньше? (ќтвет: 2 шага, 4 шага).

6. »з пружинного пистолета выстрелили пулькой, масса которой m = 5 г. ∆есткость пружины к = 1,25 кЌ/м. ѕружина была сжата на D l = 8 см. ќпределить скорость пульки при вылете из пистолета. (ќтвет. 40 м/c).

7. Ўар массой m 1 = 200 г, движущийс€ со скоростью v 1 = 10 м/с, удар€ет неподвижный шар массой m 2 = 800 г. ”дар пр€мой, центральный, упругий. ќпределить скорости шаров после удара. (ќтвет. -6 м/с; 4 м/с).

8. Ўар, движущийс€ горизонтально, столкнулс€ с неподвижным шаром и передал ему 64% своей кинетической энергии. Ўары упругие, удар пр€мой, центральный. ¬о сколько раз масса второго шара больше первого? (ќтвет. в 4 раза).

9. ÷илиндр, расположенный горизонтально, может вращатьс€ около оси, совпадающей с осью цилиндра. ћасса цилиндра m 1 = 12 кг. Ќа цилиндр намотали шнур, к которому прив€зали гирю массой m 2 = 1 кг. — каким ускорением будет опускатьс€ гир€? (ќтвет. 1,4 м/с2; 8,4 Ќ).

10. „ерез блок, выполненный в виде колеса. ѕерекинута нить, к концам которой прив€заны грузы m 1= 100г и m 2 = 300 г. ћассу колеса считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц пренебречь. ќпределить ускорение, с которым будут двигатьс€ грузы, и силы нат€жени€ по обе стороны блока. (ќтвет. 3,27 м/с2; 1,31 Ќ; 1,9 Ќ).

11. ƒвум одинаковым маховикам, наход€щимс€ в покое, сообщили одинаковую угловую скорость w = 63 рад/с и предоставили их самим себе. ѕод действием сил трени€ первый маховик остановилс€ через одну минуту, а второй сделал до полной остановки N = 300 об. ” какого маховика тормоз€щий момент больше и во сколько раз? (ќтвет. ” первого больше в 1,2 раза).

12. Ўар скатываетс€ с наклонной плоскости высотой h = 90 см.  акую линейную скорость будет иметь центр шара в тот момент, когда шар скатитс€ с наклонной плоскости? (ќтвет. 3,55 м/с).

13. Ќа верхней поверхности горизонтального диска, который может вращатьс€ вокруг вертикальной оси, проложены по окружности радиуса r = 50 см рельсы игрушечной железной дороги. ћасса диска ћ = 10 кг, его радиус R = 60 см. Ќа рельсы диска был поставлен заводной паровозик m = 1 кг и выпущен из рук. ќн начал двигатьс€ относительно рельсов со скоростью и = 0.8 м/с. — какой угловой скоростью будет вращатьс€ диск? (ќтвет. 0,195 рад/с).

14. ѕлатформа в виде диска вращаетс€ по инерции около вертикальной оси с частотой n 1 = 14 об/мин. Ќа краю платформы стоит человек.  огда человек перешел в центр платформы, частота возросла до n 2 = 25 об/мин. ћасса человека m = 70 кг. ќпределить массу платформы ћ ћомент инерции человека рассчитывать, как дл€ материальной точки. (ќтвет. 210 кг).

15. »скусственный спутник вращаетс€ вокруг «емли по круговой орбите на высоте h = 3200 км над «емлей. ќпределить линейную скорость спутника. (ќтвет. 6,45 км/с).

16. “очка совершает гармонические колебани€. ¬ некоторый момент времени смещение точки х = 5 см, скорость v = 20 см/с и ускорение а = -80 см/с2. Ќайти циклическую частоту и период колебаний, фазу колебаний в рассматриваемый момент времени и амплитуду колебаний. (ќтвет. 4 с -1; 1,57 с; p /4 рад; 7,07 см).

17. “очка совершает гармонические колебани€, уравнение которых имеет вид: х = ј sin w t, где ј = 5 см, w = 2 с-1. Ќайти момент времени (ближайший к началу отсчета), в который потенциальна€ энерги€ точки п =10-4 ƒж, а возвращающа€ сила F = 5×10-3 Ќ. ќпределить также фазу колебаний в этот момент времени. (ќтвет. 2.04 с; 4,07 рад).

18. ƒва гармонических колебани€, направленных по одной пр€мой, имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываютс€ в одно колебание той же амплитуды. Ќайти разность фаз складываемых колебаний. (ќтвет. 1200 или 2400).

19. “очка совершает одновременно два гармонических колебани€, происход€щих по взаимно перпендикул€рным направлени€м и выражаемых уравнени€ми: х = A 1cos w 1t и y = A 2cos w 2(t + t), где ј 1 = 4 см; ј 2 = 8 см; w 1 = p с-1; w 2 = p с-1; t = 1 с. Ќайти уравнение траектории и начертить ее с соблюдением масштаба. (ќтвет. 2 х + у = 0.).

20. ѕоперечна€ волна распростран€етс€ вдоль упругого шнура со скоростью v = 15 м/с. ѕериод колебаний точек шнура = 1,2 с. ќпределить разность фаз Dj колебаний двух точек, лежащих на луче и отсто€щих от источника волн на рассто€ни€х х 1 = 20 м и х 2 = 30 м. (ќтвет. 2000).

ѕ–ќ¬≈–ќ„Ќџ… “≈—“

 

1. “ело движетс€ по траектории, указанной на рисунке, так, что его нормальное ускоре≠ние остаетс€ посто€нным. ¬ какой точке траектории скорость тела наибольша€?

¬арианты ответа:

1) Q, 2) N, 3) M, 4) L, 5)K.

2. ћ€ч падает с высоты h. ѕосле отскока его скорость составл€ет 80% от скорости непосредственно перед ударом об пол. ¬ысота, на которую подниметс€ м€ч после удара, наиболее близка к:

¬арианты ответа:

1) 0,647 h; 2) 0,947 h; 3) 0,807 h; 4) 0,757 h;5) 0,507 h.

3.  амень брошен под углом 600 к горизонту.  ак соотнос€тс€ между собой начальна€ кинетическа€ энерги€ 1 камн€ с его кинетической энергией 2 в верхней точке траектории?

¬арианты ответа:

1) “ 1 = 4 2; 2) 1 = ¾ 2; 3) 1 = ; 4) “<





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 511 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќасто€ща€ ответственность бывает только личной. © ‘азиль »скандер
==> читать все изречени€...

1968 - | 1753 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.429 с.