Рисунок 15
При преобразовании треугольник – звезда в ветвях эквивалентной звезды содержатся как пассивные элементы (сопротивления), так и активные (источники ЭДС). Величины эквивалентных ЭДС определяют из условия равенства разности потенциалов между соответствующими узлами до и после преобразования при полном отключении преобразуемого участка от остальной части цепи (рисунок 15). В этом случае во всех ветвях треугольника течёт ток, а в ветвях звезды токи отсутствуют.
(11)
Запишем второй закон Кирхгофа для ветви R12, E12треугольника:
и для звезды
Поскольку величины напряжений U12 в обеих схемах должны быть одинаковыми, получим
(12)
Аналогично для остальных ветвей имеем
(13)
(14)
Выражения (11) – (14) дают возможность определять величины эквивалентных ЭДС.
При переходе от треугольника к эквивалентной звезде с целью упрощения решаемой задачи величина ЭДС в одной из ветвей звезды может быть выбрана произвольно. Пусть, например, Е3 = 0, тогда из выражений (13), (14) получим:
При переходе от звезды кэквивалентному треугольнику в качестве дополнительного условия можно принять
Тогда 
и из выражений (12) - (14) получим
Величины эквивалентных сопротивлений звезды и треугольника определяются по формулам (1)-(6). Рассмотрим, например схему Рисунок 16, которая при помощи преобразования звезды с ветвями (R1, Е1), (R2, E2), (R3, Е3) в эквивалентный треугольник получает вид рисунок 17.
Рисунок 16
Рисунок 17
Выберем в качестве дополнительного условия
Тогда
Рассмотрим преобразование треугольника 1 2 3 (рисунок 16) в эквивалентную звезду, для чего выделим его из цепи (рисунок 18а).
Ток треугольника
Напряжения между узлами треугольника и звезды:
а) б)
Рисунок 18
Принимаем для упрощения 
, тогда:
В итоге схема (рисунок 16) принимает вид, представленный на рисунке 19.
Рисунок 19
Задача 1
Определить эквивалентное сопротивление RЭ (рисунок 20, 21, 22) относительно указанных зажимов, если сопротивления равны 10 Ом. Данные взять из табл. 1-3 (номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале, номеру 11 соответствует 1 вариант).
Рисунок 20
Таблица 1.
| № | ||||||||||
| R7=0 | R4=∞ | R3=∞ | R1=0 | R1=∞ | R2=0 | R2=∞ | R7=0 | R4=0 R5=0 | R7=∞ |
Таблица 1
Рисунок 21
Таблица 2
| № | ||||||||||
| R5=0 | R5=∞ | R4=0 | R3=0 | R3=0 | R1=∞ | R5=0 | R2=0 | R4=0 | R2=0 | |
| ? | Rab | Rab | Rab | Rcd | Rac | Rbd | Rac | Rcd | Rad | Rbc |
Рисунок 22
Таблица 3
| № | ||||||||||
| R9=0 | R4=∞ | R7=∞ | R8=0 | R8=0 R9=0 | R8=0 R9=∞ | R8=0 | R2=0 R7=0 | R6=∞ | R3=∞ R8=0 | |
| ? | Rab | Rab | Rab | Rcd | Rac | Rkd | Rcd | Rcb | Rck | Rak |
Задача 2
Используя преобразования параллельных ветвей, упростить схему до трёхконтурной. Составить уравнения по законам Кирхгофа для эквивалентной схемы. Номер схемы соответствует порядковому номеру студента в журнале (номеру 11 соответствует 1 схема).
Схемы к задаче 2:
Задача 3
Используя взаимные преобразования активных треугольника и звезды, упростить схему до трёхконтурной. Номер схемы соответствует порядковому номеру студента в журнале (номеру 11 соответствует 1 схема).
Схемы к задаче 3:
Задача 4
В цепи (рисунок 23) три источника питания, ЭДС которых равны E1,E2,E3; их внутренние сопротивления соответственно равны R01 = 0,1 Ом; R02 = 0,2 Ом; R03 = 0, 3 Ом. Отдельные ветви цепи могут быть разомкнуты при помощи рубильников P1, P2, P3, P4, P5, P6. Сопротивления в пассивных ветвях R1 = 1,5 Ом; R2 = 21 Ом; R3 = 2,5 Ом; R4 = 2 Ом; R5 = R6 = R7 = R8 = 3 Ом. Определить по методу непосредственного применения законов Кирхгофа токи во всех ветвях и режимы работы источников энергии. Составить баланс мощностей. Данные взять из табл. 4 (номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале, номеру 11 соответствует 1 вариант).
Рисунок 23
Таблица 4
| Вариант | Данные к задаче 4 | |||
| E1,В | E2,В | E3,В | Разомкнуты рубильники | |
| P4,P5,P6 | ||||
| P2,P5,P6 | ||||
| P2,P4,P5 | ||||
| P1,P4,P6 | ||||
| P2,P3,P6 | ||||
| P4,P5,P6 | ||||
| P2,P4,P5 | ||||
| P2,P3,P6 | ||||
| P1,P4,P6 | ||||
| P2,P5,P6 |
Задание №2. Цепи однофазного синусоидального тока
Задачей расчёта электрической цепи является определение токов в её ветвях, напряжений на участках цепи или потенциалов узлов. При этом задаются: конфигурация цепи, параметры ее элементов и ЭДС, источников. Для расчёта токов в сложных электрических цепях применяются методы уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора.
Теоретические положения
Метод уравнений Кирхгофа
Расчёт линейных электрических цепей методом законов Кирхгофа сводится к решению систем алгебраических уравнений относительно неизвестных токов. Так как число неизвестных токов в заданной схеме равно числу ветвей n этой схемы, то система алгебраических уравнений должна иметь n-й порядок.
Пусть k – число узлов схемы. Из принципа непрерывности токов следует, что число линейно независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно (k-1).Недостающие уравнения, число которых [n-(k-1)], составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, не содержащих источников тока. Контуры являются независимыми, если в каждый из них входит ветвь, не входящая во все остальные.
Рассмотрим на примере расчёт токов в схеме (рисунок 24), которая содержит 6 ветвей, 4 узла и 3 независимых контура. Выберем произвольно направление токов в ветвях и направление обхода независимых контуров. Первые три уравнения (4 - 1 = 3) запишем по первому закону Кирхгофа, а оставшиеся три (6 - 3 = 3) – по второму закону Кирхгофа:
Рисунок 24
Решение полученной системы уравнений дает искомые токи. Если цепь содержит m ветвей с источниками тока, то число неизвестных токов уменьшается до (n-m). По первому закону Кирхгофа число уравнений остается без изменений (k-1), а по второму закону Кирхгофа она соответственно уменьшается на число ветвей с источниками тока [n-(k-1)-m].
Так, для схемы Рисунок 25, содержащей 6 ветвей и один источник тока, необходимо составить три уравнения по первому закону Кирхгофа и два – по второму.
Рисунок 25
Если в результате расчётов какой-либо ток получился отрицательным, это значит, что его действительное направление противоположно выбранному.
К недостатку рассмотренного метода следует отнести высокий порядок системы уравнений для расчёта сложных электрических цепей.
Метод контурных токов
Расчёт разветвлённой цепи может быть сведён к решению всего [n-(k-1)] уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Для этого цепь рассматривается как совокупность независимых соприкасающихся контуров и производится условная замена неизвестных токов в ветвях на токи, протекающие по замкнутым контурам. В уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, вводятся токи в независимых контурах – контурные токи.
Действительные токи в ветвях, принадлежащих только одному контуру, равны соответствующим контурным токам (но могут отличаться от них по направлению). Токи в общих для двух или нескольких контуров ветвях определяются как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов. Первый закон Кирхгофа при этом будет выполняться автоматически. Направление контурных токов выбирается произвольно, а обход контуров условимся проводить в направлении контурных токов.
Для цепи с источниками ЭДС система уравнений, составленных для независимых контуров по второму закону Кирхгофа, содержит уравнения типа
где 
– контурные токи;
– сумма сопротивлений ветвей, образующих независимый m-й контур (контурное сопротивление), 
;
– сумма ЭДС этого контура;
Zmq – сопротивление ветви, общей для m-го и q-контура (сопротивление связи).
Если в общих (смежных) ветвях направления контурных токов совпадают, то сопротивление связи берётся положительным, если токи направлены встречно, то – отрицательным. Контурные сопротивления всегда принимаются положительными.
При записи правой части уравнений ЭДС, направления которых совпадают с принятым направлением контурного тока (обхода), принимаются положительными, а при направленных противоположно – отрицательными.
Запишем систему уравнений по методу контурных токов для схемы Рисунок 26:
Рисунок 26
где
После решения системы уравнений относительно контурных токов находим токи в ветвях:
При наличии ветви с источником тока выбирается дополнительный контур, включающий эту цепь. Уравнение для дополнительного контура не составляется, т.к. контурный ток равен току источника. Падения напряжения на сопротивлениях связи с другими от источника тока (контурного тока) учитываются. Так, для цепи (рисунок 27) система уравнений имеет вид
Рисунок 27
где. 
Метод узловых потенциалов
Если в разветвлённой электрической цепи число узловбез единицы меньше, чем число независимых контуров (k-1)<[n-(k-1)], удобно воспользоваться методом узловых потенциалов. Он сводится к составлению и решению системы алгебраических уравнений (k-1)-го порядка относительно неизвестных потенциалов (узловых потенциалов). При этом потенциал одного из узлов схемы полагают равным нулю.
Уравнения с узловыми потенциалами вытекают из первого закона Кирхгофа. После нахождения неизвестных потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома.
Уравнения, входящие в систему, являются однотипными и для m-го узла имеют следующий вид:
где 
– сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в m-ом узле, 
;
– проводимость ветви, соединяющей узел m c узлом q. Если между какими-либо узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна нулю;
– ЭДС источников, расположенных в ветви между узлами m или q.
При этом ЭДС, направленные к узлу m (относительно которого составляется уравнение), берутся положительными, а направленные от этого узла – отрицательными.
Составим систему уравнений для схемы Рисунок 28, полагая 
:
где
Рисунок 28
После определения потенциалов находим токи по закону Ома:
Если ветвь содержит источник тока, то её проводимость равна нулю, т.к. внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности. Если к m-му узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в правую часть уравнения со знаком «плюс», если утекает, то со знаком «минус». Так, для цепи (рисунок 29) система уравнений имеет вид при 
:
Рисунок 29
Баланс мощностей
В любой электрической цепи по закону сохранения энергии количество вырабатываемой за единицу времени энергии источников должно равняться мощности потребителей:
Рист=Рпотр, Qист=Qпотр.
Любое нарушение этих соотношений указывает на неточность проведённых вычислений.
Активную и реактивную мощности источников можно найти как действительную и мнимую части полной комплексной мощности источников:
где 
– сопряженный комплекс тока 
Если направление тока совпадает с направлением источника ЭДС, то произведение 
входит в левую часть равенства со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус».
Если электрическая цепь содержит источник тока j, то
где 
– напряжение на зажимах источника тока.
Активная мощность потребителей:
где Iq – действующее значение тока q-й ветви, содержащей активное сопротивление Rq .
Реактивная мощность потребителей:
Для индуктивности произведение I2XL входит в сумму со знаком «плюс», для емкости I2Xc – со знаком «минус».
