Обнаружение систематической погрешности измерений в результате наблюдений. Поправки

Теоретические предпосылки

В процессе измерений результат измерений, полученный при наличии систематических погрешностей, называют неисправленным и обозначают через X'.

, (2.1)

где X исправленный результат измерений;

_с - систематическая составляющая погрешности измерения.

Неисправленные средние арифметические значения () и неисправленные отклонения результатов измерений (v¹) обозначаются также со штрихом. Их определяют по формулам

 

 

Систематическая погрешность неисправленного среднего арифметического имеет следующий вид:

 

где - систематическая погрешность для i-го измерения;

n - количество измерений.

Математическое ожидание неисправленных средних арифметических значений результатов измерений отличается от истинного значения измеряемой величины на величину их систематической погрешности:

 

. (2.5)

 

Если const, то и оценка может непосредственно использоваться при оценке результатов измерений. Такой случай возникает в связи с несовершенством конструкции средства измерения, например погрешности нанесения основной шкалы измерения на штангу или на рамку штангенциркуля.

В противном случае в результаты измерений необходимо ввести поправки, равные систематическим погрешностям по величине и обратные по знаку:

 

. (2.6)

Поправки бывают следующих основных видов:

1. поправка результата измерения, (осуществляется прибавлением к полученному при измерении результату величины систематической погрешности);

2. поправка, прибавляемая к номинальному значению меры (поправка к значению меры);

3. поправка, вводимая в показание измерительного прибора (поправка к показанию прибора).

Следовательно, для нахождения исправленного среднего арифметического значения и оценки его рассеивания относительно истинного значения измеряемой величины необходимо обнаружить систематические погрешности и исключить их введением поправок.

Имеется несколько способов обнаружения изменяющихся систематических погрешностей (Рис. 4).

 

 

Сравнение результатов измерений. Этот способ обнаружения систематической погрешности предусматривает измерение искомой величины несколькими, принципиально независимыми один от другого методами, основанными на разных физических явлениях и процессах. Сравнение результатов измерений искомой величины различными методами позволяет получить более надежную оценку систематической погрешности результата даже в том случае, если он расходится с теоретической оценкой, основанной на анализе уравнений измерения. Такое расхождение означает, что при вычислении последней не были учтены какие-то факторы, влияющие на результат измерений. Если даже измерение можно произвести только одним методом, то и в таком случае надежность оценки его погрешности можно увеличить, если применить измерительную аппаратуру разных типов. Однако теоретическую оценку необходимо учитывать, так как систематическую погрешность можно не обнаружить, если она окажется одинаковой при измерениях различными методами и (или) различными средствами измерений.

Если необходимо сравнить результаты M₁ и M₂ среднеарифметических значений двух измерений одной и той же величины, полученные разными методами или с помощью разной аппаратуры, и если известны оценки их дисперсий σ²₁ и σ ²₂, то вычисляют критерий сравнения t.

 

, (2.7)

 

Если , то можно утверждать, что в обоих или по крайней мере в одном результате измерений имеется систематическая погрешность если же величина не большая то необходимо прибегнуть к более точной методике.

Чтобы более точно определить такое значение , сравнение с которым в случае дает основание утверждать, что с заданной вероятностью по крайней мере в одном из результатов (M₁ или M₂) есть систематическая погрешность, необходимо иметь дополнительные сведения об M₁ и M₂. Во всяком случае необходимо знать числа и измерений, по которым получены M₁ и M₂ как средние арифметические результатов. Если известны не только и , а также и то, что результаты получены при одной и той же оценки дисперсии, т. е. что σ₁ = σ₂, величину t вычисляют по формуле

 

, (2.8)

 

где;

 

«исправленное» среднеквадратическое отклонение двух массивов.

Затем для заданной вероятности с учетом числа степеней свободы по таблице 2.1 находят допустимое значение

Если оказывается, что то с вероятностью различие M₁ и M₂ обусловлено систематическими погрешностями. При это различие можно объяснять только случайными погрешностями. Если M₁ и M₂ получены как средние арифметические более чем 30 измерениями каждое и если законы распределения погрешностей были нормальными, то величину вычисляют по формуле

 

(2.10)

Дисперсионный анализ. Чтобы получить результат измерения с большей точностью, проводят многократные измерения, которые можно классифицировать по методу измерения, применяемой аппаратуре, внешним условиям и другим признакам, позволяющим разделить всю совокупность измерений на несколько серий. Измерения, проводимые в разные интервалы времени, также можно отнести к разным сериям. При планировании измерений необходимо предусматривать в одной серии проведение не менее пяти и не более десяти измерений. После проведения измерений проверяют предположение о наличии разных систематических погрешностей в различных сериях. Если, например, известны результаты измерений, распределенные на серий,

 

 

то различие внутрисерийной и межсерийной дисперсий свидетельствует о наличии изменяющейся от серии к серии систематической погрешности измерений.

Величина t при конечном числе измерений случайно колеблется вокруг единицы. Ее рассеяние зависит от чисел и - степеней свободы, при рассмотрении внутрисерийной и межсерийной дисперсий соответственно.

В табл. 2.2 приведены формулы для оценок дисперсий и соответствующих им чисел степеней свободы, а в табл. 2.3-для доверительных вероятностей 0,95 (Р=95%) и 0,99 (Р=99%) допустимые значения F' величины F при условии нормального распределения погрешностей измерений. Если оказывается, что , то с указанной в табл. 2.1 вероятностью отличие внутрисерийной и межсерийной дисперсий свидетельствует о наличии изменяющейся от серии к серии систематической погрешности. Такой результат дисперсионного анализа не только позволяет выявить наличие систематических погрешностей, но и является одним из способов установить ее источник, который, по-видимому, связан с признаком деления измерений на к серий.

 

Таблица 2.1

 

Значение для различных доверительных вероятностей

 

Число степеней свободы f	t/ при , %	Число степеней свободы f	t/ при , %
		97,5		99,9			97,5		99,9
	6,31	12,71	31,82	63,66	636,6		1,73	2,1	2,55	2,88	3,92
	2,92	4,3	6,97	9,93	31,6		1,73	2,09	2,54	2,86	3,88
	2,35	3,18	4,54	5,84	12,92		1,73	2,09	2,53	2,85	3,85
	2,13	2,78	3,75	4,6	8,61		1,72	2,08	2,52	2,83	3,82
	2,02	2,57	3,37	4,03	6,87		1,72	2,07	2,51	2,82	3,79
	1,94	2,45	3,14	3,71	5,96		1,71	2,07	2,5	2,81	3,77
	1,9	2,37		3,5	5,41		1,71	2,06	4,49	2,8	3,75
	1,86	2,31	2,9	3,36	5,04		1,71	2,06	2,48	2,79	3,73
	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78		1,71	2,06	2,48	2,78	3,71
	1,81	2,23	2,76	3,17	4,59		1,7	2,05	2,47	2,77	3,69
	1,8	2,2	2,72	3,11	4,44		1,7	2,05	2,47	2,76	3,67
	1,78	2,18	2,68	3,06	4,32		1,7	2,04	2,46	2,76	3,66
	1,77	2,16	2,65	3,01	4,22		1,7	2,04	2,46	2,75	3,65
	1,76	2,15	2,62	2,98	4,14		1,68	2,02	2,42	2,7	3,55
	0,75	2,13	2,6	2,95	4,07		1,67		2,39	2,66	3,46
	1,75	2,12	2,58	2,92	4,02		1,66	1,98	2,36	2,62	3,37
	1,74	2,11	2,57	2,9	3,97	со	1,65	1,96	2,33	2,58	3,29

 

 

Таблица 2.2

 

К дисперсионному анализу при одном влияющем аргументе

 

Характер оценки	Оценка Х	Выборочная оценка дисперсии	Число степеней Свободы
Общая			N-1
Факторная			k-1
Остаточная			-

 

 

Таблица 2.3

 

Значения функции F

	F при
									∞
Р=1%
	98,5	99,0	99,2	99,3	99,3	99,5	99,4	99,4	99,5	99,5
	34,1	30,8	29,5	28,7	28,2	27,9	27,5	27,1	26,6	26,1
	21,2	18,0	16,7	16,0	15,5	15,2	14,8	14,4	13,9	13,5
	16,3	13,3	12,1	11,4	11,0.	10,7	10,3	9,9	9,5	9,0
	13,7	10,9	9,8	9,2	8,8	8,5	8,1	7,7	7,3	6,9
	12,3	9,5	8,5	7,9	7,5	7,2	6,8	6,5	6,1 "	5,7
	11,3	8,7	7,6	7,0	6,6	6,4	6,0	5,7	5,3	4,9
	10,6	8,0	7,0	6,4	6,1	5,8	5,5	5,1	4,7	4,3
	10,0	7,6	6,6	6,0	5,6	5,4	5,1	4,7	4,3	3,9
	9,8	7,2	'6,2	5,7	5,3	5,1	4,7	4,4	4,0	3,6
	.9,3	6,9	6,0	5,4	5,1	4,8	4,5	4,2	3,8	3,4
	9,1	6,7	5,7	5,2	4,9	4,6	4,3	4,0	3,6	3,2
	8,9	6,5	5,6	5,0	4,7	4,5	4,1	3,8	3,4	3,0
	8,7	6,4	5,4	4,9	4,6	4,3	4,0	3,7	3,3	2,9
	8,5	6,2	5,3	4,8	4,4	4,2	3,9	3,6	3,2	2,8
	8,4	6,1	5,2	4,7	4,3	4,1	3,8	3,5	3,1	2,7
	8,3	6,0	5,1	4,6	4,3	4,0	3,7	3,4	3,0	2,6
	8,2	5,9	5,0	4,5	4,2	3,9	3,6	3,3	2,9	2,5
	8,1	5,9	4,9	4,4	4,1	3,9	3,6	3,2	2,9	2,4
	7,9	5,7	4,8	4,3	4,0	3,8	3,5	3,1	2,8	2,3
	7,8	5,6	4,7	4,2	3,9	3,7	3,4	3,0	2,7	2,2
	7,7	5,5	4,6	4,1	3,8	3,6	3,3	3,0	2,6	2,1
	7,6	5,5	4,6	4,1	3,8	3,5	3,2	2,9	2,5	2,1
	7,6	5,4	4,5	4,0	3,7	3,5	3,2	2,8	2,5	2,0
	7,3	5,2	4,3	3,8	'3,5	3,3	3,0	2,7	2,3	1,8
	7,1	5,0	4,1	3,7	3,3	3,2	2,8	2,5	2,1	1,6
	6,9	4,8	3,9	3,5	3,2	3,0	2,7	2,3	2,0	1,4
	6,6	4,6	3,8	3,3	3,0	2,8	2,5	2,2	1,8	1,0
Р=5%
	161,0	199,5	215,7	224,6	230,2	234,0	-	244,9	249,0	254,3
	18,5	19,0	19,2	19,3	19,3	19,3	-	19,4	19,5	19,5
	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0	. 8,9	-	8,7	8,6	8,5
	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	-	5,9	5,8	5,6
	6,6	5,8	5,4	5,2	5,1	5,0	-	4,7	4,5	4,4
	6,0	5,!	4,8	4,5	4,4	4,3	-	4,0	3,8	3,7
	5,6	4,7	4,4	4,1	4,0	3,9	-	3,6	3,4	3,2
	5,3	4,5	4,1	3,8	3,7	3,6	-	3,3	3,1	2,9
	5,1	4,3	3,9	3,6	3,5	3,4	-	3,1	2,9	2,7
	5,0	4.1	3,7	3,5	3,3	3,2	-	2,9	2.7	2,5
	4,8	4,0	3,6	3,4	3,2	3,1	-	2,8	2,6	2,4
	4,8	3,9	3,5	3,3	3,1	3,0	-	2,7	2,5	2,3
	4,7	3,8	3,4	3,2	3,0	2,9	-	2,6	2,4	2,2
	4,6	3,7	3,3	3,1	3,0	2,9	-	2,5	2,3	2,1
	4,5	3,7	3,3	3,1	2,9	2,8	-	2,5	2,3	2,1
	4,5	3,6	3,2	3,0	2,9	2,7	-	2,4	2,2	2,0
	4,5	3,6	3,2	3,0	2,8	2,7	-	2,4	2,2	2,0
	4,4	3,6	3,2	2,9	2,8	2,7	-	2,3	2,1	1,9
	4,4	3,5	3,1	2,9	2,7	2,6	-	2,3	2,1	1,9
	4,4	3,5	3,1	2,9	2,7	2,6	-	2,3	2,1	1,8
	4,3	3,4	3,1	2,8	2,7	2,6	-	2,2	2,0	1,8
	4,3	3,4	3,0	2,8	2,6	2,5	-	2,2	2,0	1,7
	4,2	3,4	3,0	2,7	2,6	2,5	-	2,2	2,0	1,7
	4,2	3,3	3,0	2,7	2,6	2,4	-	2,1	1,9	1,7
	4,2	3,3	2,9	2,7	2,5	2,4	-	2,1	1,9	1,6
	4,1	3,2	2,9	2,6	2,5	2,3	-	2,0	1,8	1,5
	4,0	3,2	2,8	2,5	2,4	2,3	-	1,9	1,7	1,4
	3,9	3,1	2,7	2,5	2,3	2,2	-	1,8	1,6	1,3
	3,8	3,0	2,6	2,4	2,2	2,1	-	1,8	1,5	1,0

 

Анализ средних значений по сериям измерений. Такой анализ необходим в тех случаях, когда дисперсионный анализ свидетельствует о наличии систематических погрешностей, т. е. указывает на статистическую неподконтрольность результатов измерения. Анализ средних по сериям заключается в установлении количественной зависимости средних значений результатов по сериям измерений от параметра признака, по которому измерения были разделены на серии. Примером может служить влияние температуры на результат измерений, когда каждой серии измерений соответствует своя определенная температура.

Критерий Аббе.

Сущность метода заключается в следующем: по формуле 2.9 определяют выборочную оценку дисперсии массива измерений А_i, и вычисляют сумму квадратов последовательных разностей, q²

;

Если в процессе измерений происходило смещение центра группирования результатов наблюдений (наличие ошибки), то даст завышенную оценку дисперсии. Это объясняется тем, что на влияют вариации М. В то же время изменения центра группирования М мало влияют на последовательность разностей , и смещение М почти не отражается на значении q². Вследствие этого отношение q к будет являться критерием наличия систематической составляющей погрешности измерения r (Критерий Аббе ).

.

Если полученное значение r<r^/ то в результате измерения имеют место систематические составляющие погрешности измерения. В табл.2.4 для разных значений числа измерений п приведены значения для вероятностей 0,01 и 0,05 (1 и 5%), с которыми может превысить эти значения в отсутствии систематических погрешностей. Таким образом, если оказывается меньшим приведенного в таблице, то с вероятностью, равной 0,99 и 0,95, имеет место изменяющаяся систематическая погрешность.

 

Таблица 2.4

 

Табличное значение величины критерия Аббе

Количество измерений n	Вероятность Р,%
	0,614	0,722
	0,614	0,722
	0,619	0,726
	0,624	0,729
	0,629	0,733
	0,634	0,736
	0,638	0,740
	0,642	0,743
	0,647	0,746
	0,651	0,749
	0,655	0,752
	0,659	0,755
	0,662	0,758
	0,666	0,760
	0,669	0,763
	0,673	0,765
	0,679	0,768
	0,681	0,770
	0,684	0,772
	0,687	0,774
	0,690	0,776
	0,692	0,778
	0,695	0,780
	0,997	0,782
	0,700	0,784
	0,702	0,785
	0,705	0,787
	0,707	0,789

Количество измерений n	Вероятность Р,%
	0,213	0,390
	0,269	0,410
	0,218	0,445
	0,307	0,468
	0,331	0,491
	0,354	0,512
	0,376	0,531
	0,396	0,548
	0,414	0,564
	0,431	0,578
	0,447	0,591
	0,461	0,603
	0,475	0,614
	0,487	0,624
	0,499	0,633
	0,510	0,642
	0,520	0,650
	0,530	0,657
	0,539	0,665
	0,548	0,671
	0,556	0,678
	0,564	0,684
	0,571	0,689
	0,578	0,695
	0,585	0,700
	0,591	0,705
	0,598	0,709
	0,603	0,714
	0,609	0,718

 

Лабораторная работа №3