ВВЕДЕНИЕ
Общая теория измерений — это формально-логические основания измерения как процесса познания.
В данных методических указаниях приводятся сведения по организации и порядку проведения работ по математическим методам обработки результатов измерений, математическим моделям измеряемых величин, погрешностям измерений и способами их выявлений.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЕЛЕЧИНЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Теория случайных погрешностей использует математический аппарат теории вероятностей и математической статистики и основывается на рассмотрении появления случайных погрешностей при многократно повторяемых наблюдениях как случайных событий. Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Под случайным явлением понимают такое явление, которое при многократном повторении одного и того же опыта протекает каждый раз иначе. Примером может служить стрельба из орудия, установленного под заданным углом к горизонту. Фактическая траектория полета каждого отдельного снаряда отличается от теоретической из-за влияния многих факторов: ошибки в изготовлении снаряда, разной массы заряда, изменения метеорологических условий на трассе во время полета снаряда и т.д.
Событием называют все то, о чем в результате опыта можно сказать «произошло», «не произошло» или «появилось», «не появилось». Например, отказ прибора является событием. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта, т.е. не может не произойти; событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного опыта. Событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта, называется случайным.
Вероятность события - это численная мера степени объективной возможности этого события.. Практический смысл этого понятия заключается в том, что на основании опыта считают более вероятными те события, которые происходят чаще; менее вероятными - те события, которые происходят реже; маловероятными - те, которые почти никогда не происходят. Следовательно, понятие вероятности события связано с понятием частоты события.
Под частотой события понимается отношение числа опытов, в которых данное событие произошло, к числу всех произведенных опытов. Частота достоверного события всегда равна единице, а частота невозможного события всегда равна нулю. Частота случайного события представляет собой правильную дробь, но может быть также равна нулю или единице. Если событие ни разу не произошло в опытах, его частота равна нулю.
Случайной величиной называют такую величину, которая принимает в результате опыта одно из множества возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно. Например, число приборов, отказывающих в течение данного интервала времени при эксплуатации, является случайной величиной. Возможными значениям этой случайной величины являются целые числа 0, 1, 2,..., п.
Случайные величины бывают двух типов - прерывные (дискретные) и непрерывные.
Прерывные (дискретные) случайные величины - это случайные величины, возможные значения которых распределены дискретно по числовой оси.
Непрерывные случайные величины - это случайные величины,
возможные значения которых распределены непрерывно по числовой оси или некоторой ее части. Например, частота появления события N при п опытах
вляется прерывной случайной величиной, а время безотказной работы прибора - непрерывной случайной величиной.
Имеется прерывная случайная величина X. Через хи х2,..., хп обозначим возможные значения этой случайной величины, а через Pi, Р2, …, Рn - вероятности событий, заключающихся в том, что величина X принимает значения xi, хг,..., хп соответственно. Причем случайная величина X в каждом опыте может принять только одно из возможных значений х, т. е. в каждом опыте реализуется одно из следующих событий: X = xi, X = х2,..., X = хп.
Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Лабораторная работа №1
Определение величины технологического допуска статистическим
методом
Цель работы
По результатам измерения партии одинаковых деталей рассчитать технологический допуск на заданный номинальный размер и назначить стандартное поле допуска. Построить гистограмму фактического распределения размеров по размерным группам.
Теоретические предпосылки
В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения σ случайных ошибок измерений. Для оценки σ используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Поскольку обычно результаты измерений взаимно независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточных измерений)
Основными характеристиками рассеяния случайных ошибок являются среднее арифметическое значение действительных размеров М и среднеквадратичное отклонение σ, которые находят по формулам:
 |
где Аi- действительные размеры, полученные в результате намерений;
N- количество деталей (объем выборки).
Для наглядного графического представления о рассеянии размеров строят гистограмму распределения деталей по размерным группам. С этой целью весь диапазон размеров данной выборки от минимального Amin до максимального Amax разбивают на К групп.
Размеры, входящие в одну группу, могут отличаться друг от друга на величину, не превышающую значения 
:
 |
Технологический расчетный допуск ТR находят по формуле:
 |
где XRmax, XRmin- соответственно максимальный и минимальный расчетные размеры, учитывающие только случайные ошибки и определяемые из выражений:
, (1.5)
(1.6)
Значения коэффициента Bприведены для соответствующих объемов выборки в вариантах задач. Они гарантирует, что 99,73 % деталей генеральной совокупности будут иметь размеры в пределах назначенного допуска. Коэффициент Е в формуле (1.4) дает поправку на систематические погрешности. Для налаженных технологических процессов он составляет 1,05-1,2.
При назначении стандартных предельных отклонений отверстий следует отыскать в ГОСТ 25347-82 для данного номинального размера нижнее отклонение, наиболее близкое к XRmin, и верхнее отклонение, наиболее близкое к (ХRmin + ТR). Для размеров валов наоборот: верхнее отклонение должно соответствовать XRmax, а нижнее - (XRmax-ТR). Этот прием обоснован тем, что при настройке станка центр группирования размеров M несколько сдвигается в минус для отверстий и в плюс для валов, что уменьшает риск появления неисправимого брака и позволяет увеличить время работы инструмента до следующей перенастройки или заточки.
