Методы решения систем линейных уравнений

 

Существуют три основных метода решений систем линейных уравнений.

1 Метод Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

Теорема Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными определитель матрицы системы , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

(1)

где - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Формулы (1) называют формулами Крамера.

Пример 5 Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: Найдем определитель системы:

.

Т. к. , то по теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц ∆_1, ∆_2, ∆_3, полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов.

;

;

.

Теперь по формулам Крамера

; ; ,

т. е. решение системы (-1; 0; 1).

2 Метод обратной матрицы

Если система n линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме АХ=В и , то её решение находится методом обратной матрицы по формуле:

.

Пример 6 Решить систему методом обратной матрицы:

Решение: Запишем систему уравнений в матричной форме.

.

, , .

Решение матричного уравнения имеет вид

.

Найдем обратную матрицу А^-1.

Для этого вычислим определитель матрицы А:

- следовательно матрица А имеет

обратную матрицу А^-1.

Найдем алгебраические дополнения матрицы А.

; ; ;

; ; ;

; ; .

Таким образом,

,

откуда

.

Следовательно, х₁ = 4, х₂ = 2, х₃ = 1.

3 Метод Гаусса

Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений общего вида. Для этого составляют расширенную матрицу системы (А / В ), приписывая к матрице А столбец свободных членов В, и с помощью элементарных преобразований приводят матрицу к ступенчатому виду. По полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения неизвестных: начиная с последних переменных, находят все остальные.

Пример 7 Решить систему методом Гаусса:

Решение: Подвергнем преобразованию расширенную матрицу данной системы. Вычтем из элементов второй строки соответствующие элементы первой строки, а из элементов третьей строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на 3, получим

~ ~ .

Используя полученную матрицу, выписываем преобразованную систему.

Система уравнений приняла треугольный вид.

Из последнего уравнения имеем х₃= -1; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х₂ = -3 и, наконец, из первого уравнения находим х₁ = 2.

Итак, решение системы (2; -3; -1).

 

 

РАЗДЕЛ 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

 

Тема 2.1 Основы алгебры векторов

 

План:

1 Определение вектора

2 Действия над векторами

3 Линейная зависимость системы векторов

4 Базис. Координаты вектора

5 Координатные системы в трехмерном пространстве

6 Скалярное произведение векторов

7 Векторное произведение векторов

8 Смешанное произведение векторов

 

1 Определение вектора

Значение многих геометрических и физических величин полностью определяется заданием некоторого числа. Например, длина отрезка, масса тела, температура и т.д. Подобные величины называются скалярными. Поэтому числа иногда называют скалярами. Т.е., скаляр – это число. Другие геометрические и физические величины определяются заданием направления и числа. Примером может служить сила, приложенная к некоторой точке, т.к. важно знать в каком направлении она действует. Еще более простым примером является направленный отрезок прямой линии. Такие величины называют векторными, а простейшая из них – вектором.

Вектором называется направленный отрезок прямой, у которого различают начало и конец.

В

А

Другими словами, вектор – это всякая упорядоченная пара несовпадающих точек (А, В), определяющая направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В.

Обозначение: .

Длиной (модулем) вектора называется расстояние от точки А до точки В. Длина обозначается символами .

Направлением вектора называется направление, определяемое лучом .

Вектор, задаваемый парой точек , называется нулевым вектором и обозначается . Длина нулевого вектора равна нулю, а направление неопределено.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Обозначают .

- стандартная формула вектора.

Два вектора называются равными, если их длины равны, а направления одинаковы.

Из этого определения вытекает, что:

1) начало вектора может быть перенесено в любую точку пространства. Поэтому вектор называют свободным;

2) два вектора, лежащих на параллельных прямых, можно перенести на одну прямую;

3) любые два вектора можно перенести на одну плоскость;

 

 

a

Два вектора называются коллинеарными, если лежат в одной плоскости на параллельных прямых или на одной прямой. Они могут быть одинаково или противоположно направлены.

Для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало число , удовлетворяющее

условию .

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости (или их направления параллельны одной плоскости).

Действия над векторами

 

Сложение векторов

Пусть даны два вектора и . Возьмем произвольную точку А и отложим от нее вектор . Получим точку В, от которой отложим вектор .

В А С   В1   А1 С1

Суммой векторов и называют вектор, который идет из начала вектора к концу вектора , если приложен к .

Данное правило сложения векторов, называется правилом треугольника.

Убедимся, что введенное определение суммы двух векторов корректно, т.е. результат не зависит от выбора точки А.

Рассмотрим четырехугольник АА₁В₁В. Он является параллелограммом, т.к. .

Четырехугольник ВВ₁С₁С - параллелограммом, т.к. .

Так как и , то . Следовательно, четырехугольник АА₁С₁С также параллелограмм. Отсюда , т.е. .

Свойства сложения векторов

1⁰ Сложение векторов коммутативно

Доказательство: Построим сумму векторов и по описанному правилу треугольников. По определению отложим от т. А вектор , от т. В вектор . Получим .

Дополним до параллелограмма ABCD так, чтобы сторона AС была диагональю этого параллелограмма. Но у параллелограмма противолежащие стороны параллельны и равны.

B A С D

Тогда , . Следовательно, , . Отсюда .

Замечание: Из полученного результата следует правило параллелограмма сложения двух векторов:

Если векторы и приложены к общему началу, то их сумма есть вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , и идущий из их общего начала.

2⁰ Сложение векторов ассоциативно

Правило многоугольника для сложения векторов.

 

В А С D

Это равенство позволяет каждую сумму записывать без скобок .

3⁰ Поглощение нуль - вектора

В

А

4⁰ , имеющий с равную длину и противоположное направление. Его называют противоположным и обозначают . Причем .

В . Тогда

А

 

Вычитание векторов

Вычитание векторов вводится как операция, обратная сложению.

Пусть даны два вектора и . Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает :

, если в сумме .

В А С

Возьмем произвольную точку А и отложим от нее вектора и .

- искомый вектор, так как по правилу треугольника, чтобы получить вектор нужно к вектору прибавить вектор .

Из полученного чертежа следует способ построения разности двух векторов: если векторы и привести к общему началу, то есть вектор, идущий из конца вычитаемого в конце уменьшаемого . Иными словами, разностью двух векторов является вектор, определяющий вторую диагональ параллелограмма, построенного на заданных векторах.