Тема 1.2 Системы линейных уравнений и методы их решения

План:

1 Системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

2 Методы решения систем линейных уравнений

 

Системы линейных уравнений

 

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

где – неизвестные системы .

- коэффициент неизвестной в -ом уравнении.

- свободный член -ого уравнения.

В матричной форме система имеет вид:

,

где

- матрица коэффициентов при неизвестных или

матрица системы.

- матрица – столбец неизвестных.

- матрица – столбец свободных членов.

Если все свободные члены , то система уравнений называется однородной; если хотя бы один не равен нулю, то система называется неоднородной.

Пример 1

- однородная система уравнений.

- неоднородная система уравнений.

Решением системы называется совокупность n чисел (с₁, с₂, …, с_n), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

х₁ = с₁, х₂ = с₂, …, х_n = с_n

Система уравнений
несовместная	совместная
определенная	неопределенная
не имеет решений	решение	решения

 

Две системы уравнений называют равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Система равносильная данной получается может быть получена с помощью элементарных преобразований системы.

Элементарным преобразованием системы линейных уравнений называется:

1 Умножение коэффициентов при неизвестных и свободных членов на число не равное нулю.

2 Замена уравнений местами.

3 Прибавление к уравнению другого уравнения, предварительно умноженного на какое-либо число.

4 Приписывание к системе уравнения, которое является следствием.

Теорема (Кронекера–Капелли) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы,т.е.

Система m уравнений с n неизвестными
система несовместна		система совместна
	система определенная		система неопределенная

 

Пример 2 Исследовать систему уравнений

Решение: Определим ранги системы и расширенной матрицы.

Преобразуем матрицу А₁, вычтя из элементов 2-ой строки и 3-ей строки элементы 1-ой строки, умноженной соответственно на 2 и на 3. Далее из элементов 3-ей строки вычтем элементы 2-ой строки.

Следовательно, система несовместна.

Пример 3 Исследовать систему уравнений

Решение: Расширенная матрица системы имеет вид:

Вычтем из элементов 2-ой и 3-ей строки элементы 1-ой строки, умноженные соответственно на 2 и на 3, а затем к элементам 3-ей строки прибавим элементы 2-ой строки.

Следовательно, система несовместна. Т.к. ранг совместной системы менее числа неизвестных, то система неопределенная, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Пример 4 Исследовать систему уравнений

Решение: Здесь

Вычтем из 2-ой строки 1-ую строку, умноженную на 2, прибавим к 4-ой строке 1-ую, умноженную на 3. Затем ко 2-ой строке прибавим 4-ую, умноженную на 2 и к 3-ей строке прибавим 4-ую.

Т.е. , ранг системы равен числу неизвестных, следовательно, система совместная определенная, т.е. имеет одно решение.