Зависимости статистических характеристик

Надежности от моделей физики отказов

В основе изучения зависимостей статистических характеристик надежности от моделей физики отказов лежит гипотеза о том, что законы изменения выходных параметров во времени X(t) формируются под влиянием протекания случайных процессов разрушения элементов конструкции машин при их эксплуатации.

Основной характеристикой случайного процесса является зависимость математического ожидания от времени:

(4.8)

где Х0 — математическое ожидание начального значения параметра; £(/) — математическое ожидание скорости процессов изменения параметра.

Важной характеристикой случайного процесса являются частные распределения, дающие распределение значений процесса X (t) в k различных моментах времени:

Использование частных распределений обеспечивает учет стохастических свойств параметров технического состояния, в результате чего модель деградации принимает вид (рис. 4.13)

где/[ДО] — плотность распределения значений параметра технического состояния при наработке t; f (X ₀) — плотность распределения начального значения параметра; f[t,(i)] — плотность распределения случайных значений скорости процесса разрушения в момент времени t.

Стохастическая модель является удобным способом представления всего множества реализаций процесса изменения параметра технического состояния определенного типа элементов конструкций машин.

Стохастическая модель позволяет устанавливать связи между входными и выходными параметрами на основе кибернетического подхода, что дает возможность изучать и управлять процессами, полная информация о которых отсутствует.

Таким образом, стохастическую модель можно рассматривать как инструмент для изучения процессов, приводящих к отказам элементов конструкций машин в эксплуатации. При этом принципиально изменяется стратегия наблюдения. В наблюдения вносится концепция случая. Благодаря этому множество мешающих факторов, которые прежде всего необходимо было стабилизировать путем рандомизации, превращаются в случайные величины, влияние которых поддается учету и контролю методами статистического анализа.

Рис. 4.13. Стохастическая модель деградации параметра технического состояния

В общем виде задача изучения закономерностей, приводящих к отказам элементов конструкции машин в эксплуатации, с помощью стохастической модели может быть сформулирована следующим образом. Известны распределение начальных значений параметра f (X ₀) и одно из частных распределений значений параметра f [ X (t)]. Необходимо определить характер процесса изменения технического состояния определенного типа элементов машин в эксплуатации.

Моделированию должен предшествовать анализ физической природы явлений, приводящих к изменению параметра. Предварительный анализ предполагает выделение основных факторов, определяющих динамику процесса и формирование гипотезы о виде зависимости , а также изучение условий эксплуатации и режимов нагрузок с целью априорной оценки степени рассеивания реализаций процесса относительно математического ожидания.

Рассеивание реализаций процесса разрушения при изнашивании может быть вызвано различиями в механических свойствах поверхностей трения, различиями условий их контакта, изменениями количества и свойств смазки, колебаниями величины нагрузки, изменениями условий охлаждения изнашиваемых поверхностей, колебаниями свойств абразива при абразивном изнашивании, изменениями степени агрессивности среды при коррозионном изнашивании.

Рассеивание реализаций процесса усталостного разрушения в значительной степени обусловлено поликристаллическим неоднородным строением металлов. Источниками усталостного разрушения являются наиболее слабые места материала, распределенные по его объему, преимущественно в зонах концентрации напряжений, определяемых формой детали, ее короблением, повреждениями поверхности, наличием остаточных напряжений, технологическими дефектами и т. п.

Одной из причин рассеивания реализаций процесса как при усталостном разрушении, так и при изнашивании являются различные сочетания размеров и погрешностей изготовления многочисленных деталей, составляющих сложный агрегат, что приводит к колебаниям величин и расположения поверхностей контакта.

В результате предварительного анализа явления рассеивания реализаций формируется гипотеза о наиболее вероятном характере протекания процесса изменения технического состояния конкретного вида элементов машин в эксплуатации и определяются исходные данные для моделирования. В качестве характеристики степени рассеивания реализаций может использоваться коэффициент вариации случайных значений скорости процесса разрушения:

(4.9)

где Г — гамма-функция; b _ξ— параметр формы частных распределений скорости процесса разрушения

Изменение параметра моделируется как случайный процесс накопления повреждений с дискретным временем, т.е. формула (4.8) преобразуется к виду

где — случайное значение скорости процесса разрушения на k -м интервале; Δ t — ширина интервала времени.

Каждой реализации процесса деградации параметра X_i (t) соответствует линейная последовательность случайных значений скорости разрушения

а процессу в целом — матрица

Изменение скорости разрушения во времени представляет собой случайный процесс, характеризующийся частными распределениями

которые при моделировании аппроксимируются универсальным двухпараметрическим законом распределения Вейбулла

Проверка степени адекватности стохастической модели реальному процессу деградации параметра технического состояния осуществляется по критерию, характеризующему близость между статистическими законами распределения, построенными по эмпирическим данным , и по результатам стохастического моделирования . Мера близости распределения определяется по формуле

(4.10)

Создание абсолютно адекватной модели практически невозможно, поэтому реально можно говорить только о степени близости стохастической модели и реального процесса деградации параметра технического состояния. При этом модель считается адекватной, если мера близости не превышает заданной величины ε* количественно определяемой областью применения модели и степенью значимости получаемых результатов.

Эмпирические частные распределения получают, как правило, по результатам разовых наблюдений, т.е. в условиях отсутствия информации о возможных заменах деталей в эксплуатации. В связи с этим стохастическое моделирование предполагает учет возможных замен деталей при наработках, меньших периода моделирования.

Важным моментом при этом является задание критериев предельного состояния X^п.

Выбор критерия может осуществляться либо по результатам экспериментальных наблюдений, либо в результате анализа полученных при моделировании реализаций процесса деградации параметра с позиций лежащих в его основе механизмов разрушения.

Степень рассеивания реализаций процесса разрушения определяется при моделировании путем вычисления последовательных приближений значения параметра формы b _ξ, частных распределений скорости . Значение параметра b _ξ, при котором выполняется условие , принимается в качестве расчетного для определения степени рассеивания реализаций процесса деградации параметра по формуле (4.9).

Стохастическая модель деградации параметра технического состояния может быть использована для установления связей между детерминированными моделями физики отказов и статистическими показателями надежности элементов конструкций машин (рис. 4.14). При этом задача может формулироваться следующим образом.

Рис. 4.14. Установление связей между моделями физики отказов и