Центр мас системи. Рух центра мас. 3 страница

1. Кінетична енергія матеріальної точки - це енергія рухомого тіла.

2. Визначення. Кінетична енергія матеріальної точки - це фізична величина, яка дорівнює півдобутку маси тіла (m) на квадрат його швидкості (v).

3. Кінетична енергія матеріальної точки - це скалярна величина.

4.

Якщо рух точки задано в координатній формі, то кінетична енергія має вигляд:

5. [ W_к ] = Дж

Теорема про кінетичну енергію

1. Установлює зв’язок між роботою, що виконують над тілом і кінетичною енергією тіла.

2. Визначення. Механічна робота, виконана над тілом, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла.

3. ;

4. Застосовують тільки для замкнених систем.

Повна механічна енергія системи тіл.

Визначення. Повна механічна енергія системи - енергія механічного руху і взаємодії:

W = W_к + W_п,

Тобто дорівнює сумі кінетичної й потенціальної енергій.

Закон збереження повної механічної енергії

1. Закон збереження повної механічної енергії встановлює, що відбувається з повною механічною енергією при взаємодії тіл консервативними силами.

2. Визначення. У замкнутій системі повна механічна енергія тіла постійна величина.

3. W = W_к + W_п, =const

4. Межі застосування. Закон збереження повної механічної енергії справедливий тільки для замкнених систем.

Закон перетворення і збереження енергії

До цього було розглянуто перетворення механічної енергії в замкнених системах, у яких, відсутні сили тертя й сили непружних деформацій. Однак завжди в будь-якій системі тіл існують і тертя, і непружні деформації, які викликають зменшення повної механічної енергії системи.

Наприклад, при гальмуванні автомобіля його кінетична енергія зменшується, але він не набуває потенціальної енергії.

Пластилінова кулька при падінні на стіл прилипає до нього (не пружна взаємодія) Тобто її кінетична енергія в момент падіння не переходить у потенціальну. У наведених прикладах механічна енергія тіл зменшується.

Тертя одного тіла об інше, не пружна взаємодія кількох тіл приводить до нагрівання цих тіл, а це означає, що збільшується енергія руху молекул тіла або, як говорять, внутрішня енергія тіла. Тобто механічна енергія може перетворюватися у внутрішню енергію тіл. Численні досліди, проведені в кращих фізичних лабораторіях світу, показали, що перетворена частина механічної енергії в точності дорівнює збільшенню внутрішньої енергії, а повна енергія ізольованої системи й у цьому випадку залишається постійною. У цьому й полягає один із фундаментальних законів природи – закон перетворення і збереження енергії.

Визначення. Енергія ніколи не зникає й не виникає знову з нічого. Вона лише перетворюється з одного виду в інший або переходить від одного тіла чи системи тіл до іншого тіла чи до системи тіл, і при цьому виконується робота.

3.6 Пружні та не пружні зіткнення тіл

Удар (або зіткнення) - це зіткнення двох або більше тіл, при якому взаємодія триває дуже короткий час. При ударі сили взаємодії між тілами (ударні або миттєві сили) настільки великі, що всіма іншими силами можна знехтувати, систему таких тіл можна вважати замкненою. Для замкненої системи можна застосовувати закони збереження.

Сутність удару в тому, що кінетична енергія відносного руху тіл на короткий час перетворюється у енергію пружної деформації.

Під час удару має місце перерозподіл енергії між взаємодіючими тілами. Спостереження показують, що відносна швидкість тіл після удару не досягає свого колишнього значення. Це пояснюється тим, що немає ідеально пружних тіл й ідеально гладких поверхонь. Відношення швидкості тіл після і до удару називають коефіцієнтом відновлення ε.

Якщо для ε = 0, то такі тіла називаються абсолютно не пружними, якщо ε = 1 - абсолютно пружними. На практиці для всіх тіл 0 < ε <1 (наприклад, для сталевих куль ε ≈ 0,56, для куль із слонової кістки ε ≈ 0,89, для свинцю ε ≈ 0).

Тіла з великим ступенем відновлення можна розглядати як абсолютно пружні.

Запитання до лекції 3

1. Як визначається робота у випадку змінної сили?

2. Дайте визначення потужності та одиниці її виміру в системі CI.

3. Які сили називаються консервативними та неконсервативними? Наведіть приклади цих сил.

4. Дайте визначення кінетичній енергії.

5. Охарактеризуйте особливості потенціальної енергії.

6. Сформулюйте закон збереження та перетворення енергії.

7. Сформулюйте закон збереження механічної енергії.

8. Який зв'язок існує між консервативною силою, що діє на матеріальну точку, та її потенціальною енергією?

Лекція 4. Динаміка обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі

4.1 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Момент сили.

Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Момент сили.

Для спрощення розв’язування задач використовують наближення – абсолютно тверде тіло.

Визначення. Абсолютно тверде тіло - це тіло, взаємне положення будь-яких точок якого не змінюється, в яких би процесах воно не брало участь. Іншими словами – це тіло, яке не можна деформувати.

В абсолютно твердому тілі силу можна переносити вдовж лінії дії сили.

Визначення. Лінія дії сили - це лінія, вздовж якої діє сила.

Визначення. Вісь обертання - це лінія, навколо якої може обертатися тіло.

Момент сили M

1. Момент сили - це характеристика обертального руху тіла.

2. Визначення. Моментом сили відносно якої-небудь точки називається векторний добуток радіуса-вектора, проведеного в точку прикладання сили на цю силу.

3. Вектор моменту сили напрямлений перпендикулярно до площини, проведеної через вектори і , і утворює з ними праву трійку векторів (при спостереженні з вершини вектора М (рисунок 4.1) видно, що обертання по найкоротшій відстані від до відбувається проти годинникової стрілки).

4. , де - радіус-вектор, проведений з точки О в точку прикладання сили.

4. [ М ] = Н·м (Ньютон·метр).

*Момент сили відносно якої-небудь точки дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через цю точку.

*Проекція вектора сили на яку-небудь вісь, наприклад, вісь z, називається моментом сили відносно цієї осі. Щоб визначити момент сили відносно осі, спочатку проектують силу на площину, перпендикулярну осі (рисунок 4.2), а потім знаходять момент цієї проекції відносно точки перетину осі з перпендикулярної їй площиною.

*Якщо лінія дії сили паралельна осі або перетинає її, то момент сили відносно цієї осі дорівнює нулю.

4.2 Момент інерції тіла. Теорема Штейнера.

Момент інерції тіла Ј (йота)

1. Характеризує інертні властивості тіл при їх обертанні.

2. Визначення. Моментом інерції Ј_z тіла відносно осі z називається сума добутків мас точок цього тіла на квадрати відстаней від цих точок до осі.

3. Це скалярна величина.

4. , де m_i - маса i -тої точки, r_i - найкоротша відстань від i-тій точки до осі z.

Для суцільних тіл момент інерції визначається через інтеграл

, де r - відстань від елемента маси тіла dm до осі z.

5. [ Ј ] = кг·м²

*Моменти інерції однорідних тіл простої геометричної форми зазвичай розраховують за формулою, а складної - визначають експериментально. У таблиці 4.1 наведені моменти інерції деяких тіл.

Таблиця 4.1 - Моменти інерції однорідних тіл простої форми

Тіло	Опис	Положення вісі a	Момент інерції Ja
	Матеріальна точка маси m	На відстані r від точки.
	Порожнистий тонкостінний циліндр або кільце радіуса r і маси m.	вісь циліндра
	Суцільний циліндр або диск радіуса r і маси m	вісь циліндра
	Порожнистий товстостінний циліндр маси m із зовнішнім радіусом r2 і внутрішнім радіусом r1	вісь циліндра
	Суцільний циліндр довжини l, радіуса r і маси m	Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас
	Порожнистий тонкостінний циліндр (кільце) довжини l, радіуса r і маси m	Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас
	Прямий тонкий стрижень довжини l і маси m	Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас
	Прямий тонкий стрижень довжини l і маси m	Вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець
	Тонкостінна сфера радіуса r і маси m	Вісь проходить через центр сфери
	Кулю радіуса r і маси m	Вісь проходить через центр кулі

1. Дозволяє розрахувати момент інерції тіла щодо довільної осі.

2. Визначення. Якщо для будь-якого тіла відомий його момент інерції Ј_kc щодо осі x_c, що проходить через центр мас С тіла (рисунок 4.3), то момент інерції цього тіла відносно осі x₁, паралельної x_c, дорівнює.

3. де m - маса тіла, a - найменша відстань між осями x₁ і x_c.

4. Застосовують для обертання абсолютно твердого тіла.

4.3 Основний закон динаміки обертального руху. Умови рівноваги тіл

Основний закон динаміки обертального руху

1. Установлює зв'язок між моментом сил прикладених до тіла й кутовим прискоренням.

2. Визначення. Для тіла, що обертається навколо осі, сума моментів сил діючих на тіло дорівнює добутку моменту інерції на кутове прискорення тіла.

3. де - момент інерції тіла відносно осі обертання z, - кутове прискорення тіла, - сума моментів сил, прикладених до тіла, і розрахованих щодо осі обертання.

4. Застосовують тільки для абсолютно твердого тіла.

Умови рівноваги тіл

З 2-го закону Ньютона й основного рівняння динаміки обертального руху витікають умови рівноваги для тіл, що знаходяться у спокої:

1) сума діючих на тіло сил повинна бути рівною нулю,

,

2) сума моментів сил щодо будь-якої точки тіла повинна дорівнювати нулю.

.

4.4 Момент імпульсу тіла, що здійснює обертання. Закон збереження моменту імпульсу

Момент імпульсу матеріальної точки, що здійснює обертання L

1. Характеризує кількість обертального руху.

2. Визначення. Моментом імпульсу матеріальної точки масою m, що рухається зі швидкістю , відносно довільної точки відліку O, називають векторний добуток радіус-вектора матеріальної точки на її імпульс.

Рисунок 4.4 До пояснення моменту імпульсу.

3. Це псевдовекторна величина, напрямок якої визначають за правилом правого гвинта.

4. , де - радіус-вектор матеріальної точки (Рисунок 4.4), - її імпульс.

Величина моменту імпульсу матеріальної точки , де l - найкоротша відстань від лінії вектора до точки О.