Лекции.Орг
 

Категории:


Искусственные сооружения железнодорожного транспорта: Искусственные сооружения по протяженности составляют в среднем менее 1,5% общей длины пути...


Макетные упражнения: Макет выполняется в масштабе 1:50, 1:100, 1:200 на подрамнике...


Объективные признаки состава административного правонарушения: являются общественные отношения, урегулированные нормами права и охраняемые...

X, Δy и Δz - абсолютные ошибки в измерении величины x, y и z



По формуле (3) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.

В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (3) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.

Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w . Её можно получить, разделив (3) на W, т.е.:

 

(4)

 

Формула (4) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной за­висимости w=f(x,y,z).

Для выражения δw в процентах формулу (4) следует умножить на 100.

В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.

Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, yиz в различ­ных степенях и постоянной А, т.е.:

w=A·xα · yβ · zγ (5)

 

Причем α, βи γмогут быть любыми положительными или отрица­тельными числами. Заметим, что формула (5) охватывает случаи, опи­санные формулами (1) и (2).

Для функциональной зависимости (5) можно получить более конкрет­ное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.

Возьмем производные, входящие в (4):

 

(6)

 

Подставив в (4) эти значения и значение w по (5), получим:

 

(7)

 

Откуда:

 

(8)

 

Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:

 

(9)

 

Окончательно получаем:

 

δw=|αδx|+|βδy|+|γδz| (10)

Эта формула еще больше упрощается, если α, βиγ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:

 

δw=|δx|+|δy|+|δz| (11)

 

Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая
величина w является произведением постоянной и измеряемых вели­чин x, yиz в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.

Разберем другой случай. Пусть:

 

w = x + y + z (12)

 

Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (4) получим:

 

(13)

 

Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (13).

Для этого преобразуем каждое слагаемое в (13):

 

(14)

 

Тогда для функциональной зависимости (12) получим формулу для рас­чета ошибки:

 

(15)

 

Вполне естественно, что формулы (4) - (15) могут быть распростра­нены на любое число переменных.

Величина относительной ошибки искомой величины в (10), (11) и (15) будет выражена в процентах, если δx, δyиδz подставляются также в процентах.

Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:

 

w= x – y (16)

Если величины x и у близки друг другу по величине, то вслед­ствие погрешностей этих величин искомое значение w может получи­ться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.

Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,

Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной по­грешностью:

 

w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2.  

 

Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях xиy так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:

 

 

 

Применяя к этому случаю формулу (15), получаем тот же результат:

 

 

 

Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.

 





Дата добавления: 2016-11-23; просмотров: 6442 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.004 с.