По формуле (3) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.
В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (3) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.
Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w. Её можно получить, разделив (3) на W, т.е.:
| (4) |
Формула (4) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной зависимости w=f(x,y,z).
Для выражения δw в процентах формулу (4) следует умножить на 100.
В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.
Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, y и z в различных степенях и постоянной А, т.е.:
| w=A·xα · yβ · zγ | (5) |
Причем α, β и γ могут быть любыми положительными или отрицательными числами. Заметим, что формула (5) охватывает случаи, описанные формулами (1) и (2).
Для функциональной зависимости (5) можно получить более конкретное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.
Возьмем производные, входящие в (4):
| (6) |
Подставив в (4) эти значения и значение w по (5), получим:
| (7) |
Откуда:
| (8) |
Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:
| (9) |
Окончательно получаем:
| δw=|αδx|+|βδy|+|γδz| | (10) |
Эта формула еще больше упрощается, если α, β и γ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:
| δw=|δx|+|δy|+|δz| | (11) |
Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая
величина w является произведением постоянной и измеряемых величин x, y и z в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.
Разберем другой случай. Пусть:
| w = x + y + z | (12) |
Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (4) получим:
| (13) |
Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (13).
Для этого преобразуем каждое слагаемое в (13):
| (14) |
Тогда для функциональной зависимости (12) получим формулу для расчета ошибки:
| (15) |
Вполне естественно, что формулы (4) - (15) могут быть распространены на любое число переменных.
Величина относительной ошибки искомой величины в (10), (11) и (15) будет выражена в процентах, если δx, δy и δz подставляются также в процентах.
Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:
| w= x – y | (16) |
Если величины x и у близки друг другу по величине, то вследствие погрешностей этих величин искомое значение w может получиться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.
Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,
Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной погрешностью:
| w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2. |
Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях x и y так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:
|
Применяя к этому случаю формулу (15), получаем тот же результат:
|
Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.
