Раздел 3. Элементы линейной алгебры.

Тема 3.1. Матрицы. Определители матриц.

Матрица- это прямоугольная таблица чисел или других величин.

 

Например: На складах фирмы:

 

Склад 1 Склад 2 Склад 3

Сахар 200 100 150

Соль 350 200 180

Мука 400 250 260

 

Эти данные можно записать в форме матрицы (массива) чисел:

Коэффициенты при неизвестных, системы линейных уравнений.

Так же могут быть выделены в отдельную матрицу коэффициентов:

Любое число такого массива называется элементом матрицы.

Ряд чисел, расположенных в матрице горизонтально, называется строкой матрицы, а вертикально – столбцом.

Количество строк обозначается m, количество столбцов – n. Говорят матрица m x n.

Если m=n, то матрица квадратичная. Элементы a₁₁, a₂₂,…a_mn образуют главную диагональ, от a_m1 до a_1n – побочную диагональ.

Матрица называется треугольной, если все элементы расположенные ваше либо ниже главной диагонали равные нулю. Например:

Операции над матрицами

Суммой (разностью) двух матриц А и В, имеющих m строк и n столбцов, называется матрица, полученная в результате сложения (вычитания) одноименных элементов матриц А и В.

 

;

Произведением матрицы А на число k называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента данной матрицы А на число k.

Умножение матрицы на матрицу.

Пусть i= 1,2,3,… m – номер строки

J= 1,2,3… n – номер столбца

 

Тогда a_ij – общий элемент матрицы А

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, каждый элемент которой С_ij равен сумме произведений элементов i-ый строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В.

Например:

 

 

Определитель матрицы – это число, получаемое из элементов этой матрицы по определенному правилу. Обозначается det(A).

Определителем матрицы второго порядка (m=n=2) называется разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилу треугольника.

Основные свойства определителей.

 

1) Если одна из строк или один столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

2) Определитель, содержащий две одинаковые или пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

3) От перестановки двух строк или столбцов определитель меняет только знак.

4) Если все элементы некоторой строки или столбца определителя умножить на число k=0, то сам определитель умножиться на это число.

 

Тема 3.2. Системы линейных уравнений.

- система трех линейных уравнений с тремя

неизвестными

Метод Крамера заключается в применении формулы Крамера:

;

 

1) Если , то система имеет бесконечное множество решений.

2) Если и хотя бы один не равен 0, то система не имеет решений.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Систему уравнений приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей. Для этого используют следующие преобразования:

1. Умножение и деление коэффициентов и свободного члена на число.
2. Сложение и умножение уравнений.
3. Перестановка уравнений.

Затем из треугольной матрицы находят неизвестные с помощью последовательных подстановок.

Пример:

Составим расширенную матрицу:

 

 

Поменяем для удобства строки местами

 

~

 

Первую строку умножим на 3, и из полученной вычтем вторую, результат запишем во вторую строку, а первую затем разделим на 3

 

~ ~ ~

 

Первую умножим на 2, и из полученной вычтем 3, результат запишем в третью строку, а первую затем разделим на 2

~ ~ ~

 

Вторую строку умножим на 3, третью на 8. Из второй вычтем третью

 

 

~ ~

 

Получили треугольную матрицу.

Подставим неизвестные

 

решим Ответ: х₁=1; х₂=2; х₃=3

 

Раздел 4. Основы линейного программирования

 

Задача использования сырья.

Для изготовления n видов продукции Р используется m вида сырья: S

Запросы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемого на изготовление единицы продукции, а так же величина прибыли, получаемой от реализации единицы продукции, приведены в таблице: Необходимо составить план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Вид сырья	Запасы сырья	Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции
P1	P2	…	Pn
S1	в1	a11	а12	…	a1n
S2	в2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…	…
Sm	вm	am1	am2	…	amn
Прибыль от единицы продукции	С1	С2	…	Сn

 

Решение

Пусть х ₁ единиц продукции Р ₁ которое необходимо произвести

х₂- пр. Р₂ и т.п. х_n дляР_n

Тогда

С₁х₁ – прибыль от реализации пр. Р₁

С_nх_n – прибыль от реализации пр. Р_n

Общая прибыль

Задача состоит в том, чтобы найти наибольшее значение функции Z при ограничениях заданных системой

Замечания: Если в задачи требовалось использовать все сырьё, то составляется ситема уравнений.

 

 

Задача составления рациона

При откормки каждое животное ежедневно должно получать не менее в ед.питания вещества S.

Пусть m видов питания вещества S в количестве не менее в_i(i=1,…,m) и используется n видов кормов

Питательные вещества	Ко-во необходимых единиц питат. в-в	Количество единиц питательных веществ в 1 ед.(кг) корма
К1	К2	…	Кn
S1	в1	a11	а12	…	a1n
S2	в2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…	…
Sm	вm	am1	am2	…	amn
Стоимость 1 ед. корма	С1	С2	…	Сn

 

 

Необходимо составить рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальны.

Пусть х₁, х₂…х_n количества корма К₁, К₂…К_n в дневном рационе

Тогда

С₁х₁ – стоимость К₁, если х₁ единиц

С_nх_n – стоимость К_n, если х_n единиц

Общая стоимость

Цель найти минимальное значение Z при ограничениях указанных в системе.

Замечания: Если в задачи требовалось, что бы кол-во питательного вещества в корме было точным, то составляется система уравнений.

 

 

Общая задача линейного программирования состоит в изучении способов отыскания наибольшего или наименьшего значений линейной функции Z, при этом

Z- целевая функция, а совокупность значений х₁, х₂…х_n, определяет оптимальный план.

 

Всякая другая совокупность х₁, х₂…х_n удовлетворяющая системе неравенств определяет допустимый план.

 

Графический метод решения задачи линейного программирования

Пример 1.Задача на использование сырья. Данные в таблице.

Вид сырья	Запасы сырья	Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции
P1	P2
S1	20
S2	40
S3
Прибыль от единицы продукции (руб)

Необходимо составить оптимальный план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную проибыль, т.е. Z max.

Пусть х₁, х₂ - количество единиц продукции Р₁, Р₂, которую нужно выпустить

Z=50x₁+40x₂ (руб)

Найти х₁, х₂, чтобы Z max

 

Строим графики уравнений

 

 

 

10 9 8 7 6 5 4 3 2

х2

Х1
Х2

L₁:

Х1
Х2

L₂:

Х1
Х2

L₃:

 

 

ОАВС D – многоугольник допустимых решений Z = 50х₁+40х₂

 

 

Если Z=0, то 50х₁+40х₂=0

Х₂=

Х1
Х2		-5

Х₂=

 

 

Вектор ON семейству параллельных прямых 50х₁+40х₂=Z его координаты (50;40) или 10(5;4).

Прямую 50х₁+40х₂=0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора ОN и видим, что наибольшее значение целевой функции достигает в точки С которая лежит на пересечении L₂, L₃, найдем эти координаты.

Метод Крамера:

 

 

х₁ х₂

Таким образом, чтобы получить max прибыль надо выполнить х₁ прод Р₁

х₂ прод Р₂

 

 

Пример 2. Задача на составление рациона.

Питательные вещества	Количество необходимых питательных веществ	Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма
К1	К2
S1	9
S2	8
S3
Стоимость 1 кг корма

 

х₁, х₂ количества корма К₁, К₂ чтобы Z_min=4х₁+6х₂

 

Строим графики уравнений

Х1
Х2

L₁

 

Х1
Х2

L₂

 

 

Х1
Х2

L₃

 

 

ABC – неограниченный многоугольник - допустимое решение

 

Х1
Х2		-2

 

Вектор ОN перпендикулярен семейству параллельных прямых 4 x₁ +6 x₂ =Z. Прямую Z перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора JN и видим, что наименьшее значение достигается в точке В.

 

Точка В – решение, и образуется при пересечении L₁ и L₂.

 

Х₁=2 Х₂=3

 

Т.е.если 2кг. – К₁; 3кг. – К₂, то затраты минимальные.