Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов

Определение 1

Число, равное произведению длин двух векторов на косинус угла между ними называется скалярным произведением этих векторов. Для векторов и их скалярное произведение обозначается (, ), или . .

Таким образом, по определению

. = | |.| | cos .

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. . = . ;

2. . ( + `с) = . + ;

3. . = | |² = ² – скалярный квадрат; отсюда ;

4. l . = (l ) . = . (l );

5. . = 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой, либо когда векторы и ортогональны;

6. . Пользуясь этим свойством, получим

.

Заметим, что для ортонормированного базиса {` i,` j,` k } пространства V³ справедливы следующие соотношения

,

.

Пусть в ДПСК, порожденной репером [O,` i,` j,` k ], заданы два вектора

и .

Используя перечисленные свойства скалярного произведения, получим для этих векторов:

. = . =

+ =

= .

Таким образом, если векторы заданы своими координатами в ДПСК, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

. = .

Пользуясь этим правилом, можно записать в координатной форме

| | = (. ) = ,

= .

Учитывая эти формулы и следствие из свойства 6, находим:

,

т.е. в ДПСК координаты вектора равны его проекциям на соответствующие оси координат.

Для направляющих косинусов вектора ` а имеем

,

,

.

Рассмотрим орт `а <sup>о</sup> вектора ` а. Учитывая координаты вектора ` а, находим

`а ^о = .

Следовательно, направляющие косинусы вектора равны координатам его орта и наоборот, т.е. можно записать `а ^о = (cosa, cosb, cosg).

Определение 2

Упорядоченная тройка векторов ` а,` b,` c, совмещенных началами, называется правой тройкой, если из конца третьего вектора` с кратчайший поворот от первого вектора` а ко второму вектору` b виден осуществляющимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой

. На рис.8а изображена правая тройка векторов, а на рис.7б – левая.

 

 

ДПСК, которой мы договорились пользоваться, строится на основе правой тройки (` i,` j,` k).

Определение 3

Векторным произведением векторов ` а и ` b называется вектор` v, удовлетворяющий свойствам:

а) | | = | |.| |. sin ,

б) вектор` v перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и ;

в) векторы , ,` v, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку

Векторное произведение обозначается ´ или [ , ]. Векторное произведение обладает свойствами:

1) ,

2) ,

3) = l() = ,

4) =`0 ( ¹`0, ¹`0) тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные. В частности, .

Для базисных векторов ` i,` j,` k имеют место соотношения:

.

Пусть векторы заданы своими координатами:

и .

Используя перечисленные свойства, получим

= ´ =

+ =

=

=

= .

Таким образом, через координаты перемножаемых векторов ` a = (a<sub>x</sub>, a<sub>y</sub>, a<sub>z</sub>) и ` b = (b_x, b_y, b_z) векторное произведение может быть записано в виде символического определителя

.

или в виде координатной строки

´ = .

Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенный на векторах` а и` b как на сторонах (рис. 9). Площадь этого параллелограмма равна

S_пар. = |AB|.|AD|.sinj = | |.| |. sinj = | ´ |.

Таким образом, с геометрической точки зрения, модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Определение 4.

С мешанным произведением векторов` а,` b,` с называется скалярное произведение вектора ´ на вектор ` с. Обозначается смешанное произведение . . или .

Таким образом, по определению, смешанное произведение трех векторов – это число, равное

. . = ( ´ , ` с).

Свойства смешанного произведения:

1) . . = . . = . . , т.е. при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется;

2) . . = – . . = – . . = – . . , т.е. смешанное произведение меняет знак при перестановке соседних множителей;

3) . . = 0 ( ¹`0, ¹`0, ¹`0) тогда и только тогда, когда векторы ` a,` b,` c компланарные.

Если векторы ` a,` b,` c заданы своими координатами:
` a = (а_x, a_y, a_z), ` b = (b<sub>x</sub>, b<sub>y</sub>, b<sub>z</sub>), ` с = (с_x, с_y, с_z),

то, используя координатную форму скалярного и векторного произведений, получим

. . = ( ´ , ` с) = . (с_x, с_y, с_z) =

=

Следовательно, в координатной форме смешанное произведение имеет вид

. . = .

Рассмотрим геометрическую интерпретацию смешанного произведения. Построим на векторах ` а,` b,` с как на ребрах параллелепипед (рис.9).

Объем этого параллелепипеда равен V = S_осн.. Н. Но S_осн = | ´ |,а высота Н равна Н = . Тогда

V = = |( ´ , ` с)| = = | . . |.

Таким образом, если векторы` а, ` b, ` с – некомпланарные, то объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен

V = |` a. ` b. ` c |,

то есть абсолютной величине смешанного произведения этих векторов.

 

Наряду со смешанным произведением трех векторов, можно рассмотреть и произведение вида ´( ´` с) – такое произведение называется двойным векторным произведением.

Двойное векторное произведение обладает свойством, которое связывает векторное произведение со скалярным произведением и произведением вектора на число:

´( ´` с) = (. ) – ( . ) .

 

*) Совокупность п чисел вида (х ₁, х ₂, …, х_п) называют числовой строкой длины п. По сути числовая строка длины п – это матрица-строка размерности п ´1. Поэтому над числовыми строками можно определить операции сложения и умножения на число так, как были определены эти операции для матриц. Множество всевозможных числовых строк длины п является линейным пространством размерности п и это пространство называется координатным пространством (или арифметическим пространством строк) и обозначается R ⁿ.