Определение 1
Число, равное произведению длин двух векторов на косинус угла между ними называется скалярным произведением этих векторов. Для векторов 
и 
их скалярное произведение обозначается (
, 
), или . .
Таким образом, по определению
. = | |.| | cos 
.
Скалярное произведение обладает свойствами:
1. . = . ;
2. . ( + `с) = . + 
;
3. . = | |2 = 2 – скалярный квадрат; отсюда 
;
4. l . = (l ) . = . (l );
5. . = 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой, либо когда векторы и ортогональны;
6. 
. Пользуясь этим свойством, получим
.
Заметим, что для ортонормированного базиса {` i,` j,` k } пространства V3 справедливы следующие соотношения
,
.
Пусть в ДПСК, порожденной репером [O,` i,` j,` k ], заданы два вектора
и 
.
Используя перечисленные свойства скалярного произведения, получим для этих векторов:
. = 
. 
= 
+ 
=
= 
.
Таким образом, если векторы заданы своими координатами в ДПСК, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
. = .
Пользуясь этим правилом, можно записать в координатной форме
| | = (. ) = 
,
= 
.
Учитывая эти формулы и следствие из свойства 6, находим:
,
т.е. в ДПСК координаты вектора равны его проекциям на соответствующие оси координат.
Для направляющих косинусов вектора ` а имеем
,
,
.
Рассмотрим орт `а о вектора ` а. Учитывая координаты вектора ` а, находим
`а о = 
.
Следовательно, направляющие косинусы вектора равны координатам его орта и наоборот, т.е. можно записать `а о = (cosa, cosb, cosg).
Определение 2
Упорядоченная тройка векторов ` а,` b,` c, совмещенных началами, называется правой тройкой, если из конца третьего вектора` с кратчайший поворот от первого вектора` а ко второму вектору` b виден осуществляющимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой
. На рис.8а изображена правая тройка векторов, а на рис.7б – левая.
 |
ДПСК, которой мы договорились пользоваться, строится на основе правой тройки (` i,` j,` k).
Определение 3
Векторным произведением векторов ` а и ` b называется вектор` v, удовлетворяющий свойствам:
а) | 
| = | |.| |. sin ,
б) вектор` v перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и ;
в) векторы , ,` v, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку
Векторное произведение обозначается ´ или [ , ]. Векторное произведение обладает свойствами:
1) 
,
2) 
,
3) 
= l(
) = 
,
4) =`0 ( ¹`0, ¹`0) тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные. В частности, 
.
Для базисных векторов ` i,` j,` k имеют место соотношения:
.
Пусть векторы заданы своими координатами:
и 
.
Используя перечисленные свойства, получим
= ´ = 
+ 
=
= 
= 
= 
.
Таким образом, через координаты перемножаемых векторов ` a = (ax, ay, az) и ` b = (bx, by, bz) векторное произведение может быть записано в виде символического определителя
.
или в виде координатной строки
´ = 
.
Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенный на векторах` а и` b как на сторонах (рис. 9). Площадь этого параллелограмма равна
Sпар. = |AB|.|AD|.sinj = | |.| |. sinj = | ´ |.
Таким образом, с геометрической точки зрения, модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Определение 4.
С мешанным произведением векторов` а,` b,` с называется скалярное произведение вектора ´ на вектор ` с. Обозначается смешанное произведение . . 
или .
Таким образом, по определению, смешанное произведение трех векторов – это число, равное
. . = ( ´ , ` с).
Свойства смешанного произведения:
1) . . = . . = . . , т.е. при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется;
2) . . = – . . = – . . = – . . , т.е. смешанное произведение меняет знак при перестановке соседних множителей;
3) . . = 0 ( ¹`0, ¹`0, ¹`0) тогда и только тогда, когда векторы ` a,` b,` c компланарные.
Если векторы ` a,` b,` c заданы своими координатами:
` a = (аx, ay, az), ` b = (bx, by, bz), ` с = (сx, сy, сz),
то, используя координатную форму скалярного и векторного произведений, получим
. . = ( ´ , ` с) = . (сx, сy, сz) =
= 
Следовательно, в координатной форме смешанное произведение имеет вид
. . = 
.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию смешанного произведения. Построим на векторах ` а,` b,` с как на ребрах параллелепипед (рис.9).
Объем этого параллелепипеда равен V = Sосн.. Н. Но Sосн = | ´ |,а высота Н равна Н = 
. Тогда
V = 
= |( ´ , ` с)| = = | . . |.
Таким образом, если векторы` а, ` b, ` с – некомпланарные, то объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен
V = |` a. ` b. ` c |,
то есть абсолютной величине смешанного произведения этих векторов.
Наряду со смешанным произведением трех векторов, можно рассмотреть и произведение вида ´( ´` с) – такое произведение называется двойным векторным произведением.
Двойное векторное произведение обладает свойством, которое связывает векторное произведение со скалярным произведением и произведением вектора на число:
´( ´` с) = (. 
) – ( . ) .
*) Совокупность п чисел вида (х 1, х 2, …, хп) называют числовой строкой длины п. По сути числовая строка длины п – это матрица-строка размерности п ´1. Поэтому над числовыми строками можно определить операции сложения и умножения на число так, как были определены эти операции для матриц. Множество всевозможных числовых строк длины п является линейным пространством размерности п и это пространство называется координатным пространством (или арифметическим пространством строк) и обозначается R n.
