Геометрические векторы, операции над ними.

Понятие вектора и простейшие операции над векторами вы изучали еще в школе. Вспомним кратко, что:

- геометрический вектор – это направленный отрезок прямой. Обозначается вектор: а, , , , где А – начало вектора, В – конец; В математике рассматриваются только свободные векторы, т.е. векторы, начало которых выбирают произвольно.

- модулем (длиной) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор; обозначается модуль вектора | |, или | |;

- вектор, начало и конец которого совпадают (т.е. точка), называется нулевым вектором и обозначается , направление вектора не определяется, длина его равна 0;

- вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом;

- вектор называется противоположным вектору , для вектора противоположный обозначается (– ).

- два вектора называются равными, если они имеют равные модули и одинаково направлены, записывают: .

- векторы и называют коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых, обозначают . Коллинеарные векторы называют сонаправленными, если их направления совпадают, обозначают` ; в противном случае векторы – противоположно направленные, это обозначают . Заметим, что;

- ортом вектора ` а называется вектор` а ^о такой, что и =1(рис.1);

-

` а

векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях нулевой вектор, по определению, компланарен любой паре векторов и ;

- углом между векторами называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из них, чтобы направления этих векторов совпали; обозначают угол между векторами ` а и` b символом ;

- векторы называются ортогональными, если угол между ними равен 90^о; ортогональность векторов ` а и` b обозначают ` а ^` b;

- проекцией вектора ` а на вектор ` b называется число
.

Рассмотрим операции над векторами.

Суммой векторов и называют вектор , начало которого (точка А на рисунке 1,а) совпадает с началом вектора , а конец (точка С) – с концом вектора , если конец вектора (точка В) совмещен с началом вектора . Обозначают

Очевидно, введенная таким образом операция сложения применима для любых векторов плоскости или пространства (рисунок 2,а), в том числе и для векторов, лежащих на одной прямой (рисунок 2,б)

 

 

 

 

Если дополнить треугольник АВС (рисунок 3) до параллелограмма АВСD, то легко получить известное «правило параллелограмма»: если начала неколлинеарных векторов и совмещены, то их сумма изображается вектором, имеющим начало в той же точке и совпадающим с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рисунок 3).

Разность векторов` а и` b определяется равенством = + (–` b), где () – вектор, противоположный вектору` b.

Напомним, что в параллелограмме ОАСВ (рис.4) сумма есть вектор-диагональ , исходящая из общего начала О векторов и` b, а разность этих векторов есть другая вектор-диагональ – вектор, направленный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.

Произведением вектора на число называется вектор a , такой, что:

1. |a | = |a|.| |;

2. векторы и a сонаправлены, если ; векторы и a противоположно направлены, если (рисунок 5).

 

Заметим, что используя определение операции умножения вектора на число, можно рассматривать вектор (– ), противоположный вектору , как произведение .

Используя определение орта вектора и операцию умножения, можно для любого вектора` а записать: = | |.` а ^о и наоборот, ` а ^о = .

Справедлива также следующая теорема:

Теорема 1.

Векторы ` а и` b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число a такое, что = a .

Доказательство: 1) если = a , a ¹ 0, то, по определению произведения вектора на число, ` а и` b коллинеарны.

2) Пусть ` а и` b коллинеарны. Рассмотрим ` а <sup>о</sup> и ` b ^о, они, очевидно, тоже коллинеарны. Значит, либо ` а <sup>о</sup> ` b ^о, либо ` а <sup>о</sup> ` b ^о и |` а <sup>о</sup>| = |` b ^о| = 1. Но тогда либо ` а <sup>о</sup> =` b ^о, ` а <sup>о</sup> = –` b ^о, откуда = , или = – . Следовательно, либо , либо , но это и означает, что существует a = такое, что = a . ЧТД.