Неформальные логики в системном анализе
Вопрос1
Основные определения и операции на нечетких множествах. Принципы обобщения и декомпозиции. Триангулярные нормы и алгебра де Моргана.
Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0; 1], а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Он определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.
Нечеткие множества
Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар
где 
—характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 — в противном случае.
Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар
где — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = = [0,1]).
Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.
Примеры записи нечеткого множества
Пусть 
— нечеткое множество, для которого
Тогда А можно представить в виде
или
или
Пример
Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ,ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...} —множество марок автомобилей, а Е' = [0, оо) — универсальное множество «Стоимость», тогда на Е' мы можем определить нечеткие множества типа:
Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности
«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями принадлежности вида рис. 1.1.
Операции над нечеткими множествами
Логические операции
Включение. Пусть А и В — нечеткие множества на универсальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если
Обозначение: 
Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, когда А С В, говорят, что В доминирует А.
Равенство. А и В равны, если 
.
Обозначение: А = В.
Дополнение. Пусть М = [0, 1], А и В — нечеткие множества,
заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если 
Обозначение: 
или 
.
Очевидно, что 
(дополнение определено для М = [0, 1],
но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного М).
Пересечение. 
— наибольшее нечеткое подмножество,
содержащееся одновременно в А и В:
Объединение. 
— наименьшее нечеткое подмножество,
включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:
Разность. 
с функцией принадлежности:
Дизъюнктивная сумма
с функцией принадлежности:
Примеры.
Пусть
Здесь:
1) 
, т. е. А содержится в В или В доминирует А; С несравнимо
ни с А, ни с В, т.е. пары {А, С} и {А, С} — пары недоминируемых
нечетких множеств.
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами.
Для нечетких множеств
можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоуголь-
прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются
значения 
на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс.
Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических операций: a — нечеткое множествоА; б — нечеткое множество 
; в — 
; г — 
На рис. 1.3а заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.35, в, г
даны А, АП А, Аи А.
Свойства операций 
Пусть А, В, С — нечеткие множества, тогда выполняются сле-
следующие свойства:
1. 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».
Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.
Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция 
удовлетворяющая
следующим условиям:
1) 
—ограниченность;
2) 
— монотонность;
3) 
— коммутативность;
4) 
— ассоциативность;
Примеры треугольных норм
