Лекция 10. Анализ ЦС во временной и частотной области
Общие признаки устойчивости остаются справедливыми и для импульсных систем, однако наличие импульсных элементов вызывает дополнительные сложности при анализе устойчивости.
Анализ устойчивости во временной области
Как и в непрерывных системах, общее решение разностного уравнения импульсной системы можно представить в виде частного решения уравнения с правой частью и общего решения без правой части.
(10.1)
Составляющая xB[nT] описывает вынужденное движение системы, а x0[nT] – переходное движение. Об устойчивости движения системы можно судить по составляющей x[nT], определяемой из решения однородного уравнения.
Проектирование непрерывных систем часто основывается на анализе расположения нулей и полюсов ПФ системы на Р-плоскости. Если при этом все полюсы ПФ замкнутой системы, т.е. корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости корней Р, то система устойчива. Границей устойчивости является мнимая ось (рисунок 10.1).
Рисунок 10.1 – Корни на плоскости Р для устойчивой системы
Уравнение для замкнутой импульсной системы в z-изображении позволяет получить характеристическое уравнение и, если его корни z1, z2 …zn, например, действительны, то решение характеристического уравнения можно записать в виде
(10.2)
где С1, С2 …Сm – постоянные коэффициенты, определяемые из начальных условий.
Система будет устойчива, если при t→∞ или n→∞ сигнал х стремится к нулю, т.е.
(10.3)
В свою очередь, это условие выполнимо, если все корни z1, z2,..zm по модулю не превосходят единицы.
Следовательно, необходимым и достаточным условием устойчивости импульсной системы является соблюдение неравенства
(10.4)
Подставляя p=jω в z = epT, получим z = ejωT. При изменении ω от 0 до 2π/Т переменная z описывает в Z-плоскости окружность единичного радиуса. При дальнейшем увеличении ω от 2π/Т до 4π/Т переменная повторно описывает окружность. Следовательно, отрезок мнимой оси в Р-плоскости, являющимся границей устойчивости, отражается в единичную окружность в Z-плоскости с центром в начале координат (рисунок 10.2).
Рисунок 10.2 – Отображение границы устойчивости на Z-плоскости
Левой Р-полуплоскости соответствует на плоскости корней Z внутренняя поверхность круга единичного радиуса. Точки же правой половины Р-плоскости отображаются в область вне единичного круга на z-плоскости.
Определение устойчивости линейной импульсной системы по расположению корней является сложной задачей при высоком порядке характеристического уравнения. Критерии устойчивости освобождают вычисление корней и устанавливают соотношения для определения устойчивости, вытекающие из основного неравенства корней 
