Заряды и проводники с током. Работа сил поля

 

Рассмотрим последовательно, как магнитное поле действует сначала на движущиеся заряды, затем на проводники с токами, в том числе и на рамку с током. В общем случае электромагнитное поле характеризуется векторами Е (r,t) – напряженностью электрического поля и В (r,t) – магнитной индукцией. Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле,

 

F = q E + q [ v,B ], (3.3.1)

 

называется силой Лоренца. Квадратные скобки означают векторное произведение двух векторов v и B.

Выражение (3.3.1) справедливо как для постоянных, так и переменных электромагнитных полей. С магнитным полем связана та часть силы, которая проявляется только при движении заряда (см. второе слагаемое в выражении (3.3.1)), т.е.

 

F _m = q [ v, B ],

 

в скалярной форме:

 

 

F_m =q v B sin(v^В). (3.3.1΄)

 

Направление силы Лоренца можно определить по правилу векторного произведения, которому соответствует мнемоническое правило правой тройки: большой, указательный и средней пальцы правой руки надо расположить перпендикулярно друг другу; если направить большой палец по вектору v для положительного заряда (для отрицательного против v), указательный по вектору В, то средний палец покажет направление магнитной составляющей силы Лоренца F _m. Есть и другой способ - мнемоническое правило левой руки. Для q > 0 левую руку надо расположить так, чтобы линии вектора В входили в ладонь, четыре пальца направить по направлению вектора v (рис. 9). Тогда большой палец укажет направление силы Лоренца. Если q < 0, левую руку надо развернуть так, чтобы линии вектора В выходили из ладони.

Под действием силы Лоренца заряженная частица закручивается вокруг силовых линий поля: положительная частица – по часовой стрелке, отрицательная – против часовой стрелки, если смотреть навстречу силовым линиям поля.

Пример. Частица массой m, несущая заряд q, влетает в однородное мегнитное поле перпендикулярно линиям вектора В (рис. 10). Определить радиус окружности, период и круговую частоту заряженной частицы.

 

Решение. Магнитная составляющая силы Лоренца искривляет траекторию частицы, но не выводит ее из плоскости, перпендикулярной к полю. Абсолютная величина скорости не изменяется, сила остается постоянной, поэтому частица движется по окружности. Приравняв магнитную составляющую силы Лоренца к центробежной силе

 

qvB = mv² / R,

 

получим для радиуса частицы равенство

 

(3.3.2)

 

Период обращения частицы

 

. (3.3.3)

 

Круговая частота ω обращение частицы, то есть число оборотов за 2π секунд,

 

(3.3.3 ^΄ ).

 

Ответ: R = mv/ (qB); ω = qB/ m; для конкретного типа частиц период и частота зависят только от индукции магнитного поля.

	Рис.9		Рис.10

 

 

Рассмотрим движение частицы, движущейся под углом < 90° к направлению линий вектора В (рис. 11). Определим шаг витка спирали h. Скорость v имеет две составляющие, одна из которых v_çç = v cosβ,параллельна В, другая v_^ = v sin β – перпендикулярна линиям магнитной индукции В.

При движении частицы вдоль линий В магнитная составляющая силы равна нулю, поэтому вдоль поля частица движется равномерно со скоростью

v_çç = v cosβ.

 

 

Шаг витка спирали

 

h = v_ççТ = v Т соsβ.

 

Подставив выражение для T из формулы (1.3.3), получим:

(3.3.4)

 

 

 

Рис.11

 

На элемент проводника с током Id l в магнитном поле действует сила Ампера.

 

или в скалярной форме

 

dF = I dl B sinα, (3.3.5)

 

где α – угол между элементом проводника и магнитной индукцией.

Для проводника конечной длины необходимо взять интеграл:

 

F = I ∫ [d l, B ]. (3.3.6)

 

Направление силы Ампера, как и силы Лоренца (см. выше), определяется по правилу левой руки. Но с учетом того, что четыре пальца здесь направляют вдоль тока.

 

Пример. Проводник в виде полукольца радиусом R = 5 см (рис. 12) помещен в однородное магнитное поле, силовые линии которого направлены от нас (изображены крестиками). Найти силу, действующую на проводник, если сила тока, текущего по проводнику, I = 2 А, а индукция магнитного поля В = 1 мкТл.

 

Решение. Воспользуемся формулой (3.3.6), учитывая, что под интегралом стоит векторное произведение, а значит, в конечном счете, векторная величина. Сумму векторов удобно находить, проектируя векторов – слагаемые на оси координат и складывая их проекции. Поэтому, решая задачу в скалярной форме, интеграл можно представить в виде суммы интегралов:

 

F = ∫ dF_i, F = ∫ dF_х + ∫ dF_у.

 

По правилу левой руки находим векторы сил d F, действующих на каждый элемент проводника (рис. 12).

	Рис.12

 

Первый интеграл в правой части равен нулю, т. к. сумма проекций d F равна нулю, как следует из рисунка: из–за симметрии картины каждой положительной проекции соответствует отрицательная такой же величины. Тогда искомая сила равна только второму интегралу

 

 

F = ∫ dF_у = ∫ dF cosβ,

 

где β – угол между векторами d F и осью ОΥ, а элемент длины проводника можно представить как dl = R cos β. Так как угол отсчитывается от оси ОΥ влево и право, то пределами интегрирования будут значения – 90 ⁰ и 90 ⁰. Подставляя dl в dF и решая второй интеграл, получим

 

F =

 

Численный расчет дает: F = 2 · 2 А ·10^-6 Тл · 0,05 м = 2 · 10^-7 Н.

Ответ: F = 2 · 10^-7 Н.

 

Закон Ампера дает выражение для силы, с которой взаимодействуют два бесконечно длинные параллельные друг другупроводника с токами, находящимися на расстоянии b друг от друга:

 

(3.3.7)

 

Можно показать, что проводники с токами, текущими в одну сторону, притягивается, и отталкивается в случае антипараллельного направления токов.

На рамку (контур) с током в магнитном поле действуют силы. Которые стремятся повернуть ее так. Чтобы магнитный момент Р _m рамки совпадал с направлением магнитной индукции. При этом вращающий момент М, действующий на контур площадью S с током I, равен

 

M = I S B sinα, (3.3.8)

где α – угол между магнитной индукцией и нормалью к рамке. В векторной форме

M = [ P _m, B ].

 

Положение, в котором угол α = 0 ⁰. называют устойчивым равновесием, а положение с α = 180 ⁰ - неустойчивым равновесием.

Элементарная работа магнитного поля при повороте рамки на угол α

 

dA = I dФ,

 

а при повороте рамки на конечный угол, из положения 1 в положение 2 совершается работа:

 

А = I (Ф₂ – Ф₁), (3.3.9)

 

где Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки сквозь рамку в положениях 1 и 2.

Работа сил Ампера по перемещению проводника с током в магнитном поле:

 

А = I DФ, (3.3.10)

 

где Ф - магнитный поток через площадь, которую описывает проводник при своем движении.

Пример. Определить работу, совершаемую полем при повороте контура из положения р _m çç В в положение устойчивого равновесия, а также работу, которую необходимо совершить для удаления контура, находящегося в положении устойчивого равновесия, в область, где поле равно нулю. Считать значения магнитного момента р _m и индукции поля В известными.

 

Решение. В первой половине вопроса речь идет о работе, совершаемой силами Ампера и определяемой по формуле (3.3.9):

 

А = I (BS cos 0 ⁰ – BS cos 90 ⁰) = p_m B.

 

Во второй половине речь идет о работе внешних сил против сил Ампера. Поэтому она имеет знак “минус”. Первое положение здесь – это положение устойчивого равновесия, магнитный поток максимален, а во втором положении магнитный поток равен нулю. Тогда:

 

А = - I (Ф₂ – Ф₁) = -I (0 – ВS) = р_mВ.

 

 

4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. САМОИНДУКЦИЯ. ИНДУКТИВНОСТЬ.

Согласно закону электромагнитной индукции, при изменении магнитного потока Ф, пронизывающего контур, в последнем возникает ЭДС индукции ε _i, пропорциональная скорости изменения магнитного потока во времени:

 

ε_i = (3.4.1)

 

Знак “минуc” в выражении (3.4.1) соответствует правилу Лоренца: индукционный ток всегда направлен таким образом, чтобы противодействовать причине, его вызвавшей.

Если контур содержит N витков и каждый виток сцеплен с переменным магнитным потоком Ф, то

 

ε _{i = ,}

 

здесь N · Ф = Ψ – полный магнитный поток или потокосцепление.

Изменение магнитного потока может быть обусловлено равными причинами, связанными с изменением: магнитной индукции во времени; формы контура (площади, охватываемой им); угла между нормалью к плоскости и вектором В (например, при вращении рамки в магнитном поле); площади, описываемой проводником, пересекающим силовые линии поля и т.д. Поэтому при решении задач на эту тему надо, прежде всего, установить причину изменения магнитного потока.

 

Пример. Найти заряд, протекающий по замкнутому витку с сопротивлением R, при удалении его из магнитного поля. Магнитный поток сквозь виток равен Ф.

Решение. Причина изменения магнитного потока – исчезновение поля, магнитный поток сначала был равен Ф, затем снизился до нуля. Так как проводник замкнутый, по нему течет индукционный ток I. Тогда заряд, прошедший по витку, q = I dt^΄. По закону Ома I = ε _i / R, а ЭДС индукции ε _i = - dФ / dt. Тогда:

q =

Ответ: q = Ф / R.

 

Пример. Прямолинейный проводник длиной l движется в однородном магнитном поле так, что его скорость v составляет угол β с направлением силовых линий. Найти ЭДС индукции, возникающей на концах проводника. Магнитная индукция поля В считается известной.

Решение. Причина изменения магнитного потока – изменение площади, пересекаемой проводником при его движении. Поэтому скорость изменения магнитного потока во времени

 

dФ/dt = B(dS/dt) cosα.

 

dS/dt – площадь, пересекаемая проводником в единицу времени, равная ldx/dt = lν, а угол α дополняет угол β до 90 ⁰ (рис. 13). Тогда

 

ε_i = - B l ν sin β.

 

Ответ: ε _i = - B l ν sin β.

 

Пример. Рамка площадью 100 см² вращается в магнитном поле с индукцией 0,2 Тл так, что ось вращения расположена перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Рамка делает 5 оборотов в секунду. Найти значение ЭДС индукции в момент времени t = 2с и максимальную ЭДС индукции в рамке. В начальный момент времени плоскость рамки располагалась перпендикулярно силовым линиям поля.

 

Решение. Причина изменения магнитного потока здесь – изменение угла между нормалью к рамке и магнитной индукцией, причем угловая скорость вращения ω = 2πn (n – число оборотов в единицу времени.). Согласно основному закону электромагнитной индукции:

 

Подставив числовые данные, получим в момент t = 2 c

 

ε _i = - 0,2 · 10 ^{– 2} · 2 · 3,14 · 5 · sin (2π · 5 · 2) = 0

 

Максимальное значение ЭДС находим из условия, что sin (2πn) =1:

 

 

ε _maх = 0, 2 · 10 ^{– 2} · 2 · 3,14 · 5 = 0, 0628 В.

 

Ответ: В момент времени 2 с ЭДС индукции равна нулю.

Максимальная ЭДС индукции 0, 0628 В.

 

Если по контуру протекает изменяющийся во времени ток, то в контуре возникает ЭДС самоиндукции:

 

ε _S = (3.4.2)

 

где L – индуктивность контура, определяемая отношением потокосцепления к силе тока в контуре:

(3.4.2 ΄)

В СИ индуктивность измеряется в Генри (Гн).

 

 

Выведем формулу для индуктивности соленоида. При протекании тока по соленоиду длиной l в нем возбуждается магнитное поле, индукция которого на оси соленоида определяется формулой (3.2.4). Потокосцепление

 

,

 

где Ψ = BS – поток, пронизывающий каждый из витков; S – площадь поперечного сечения соленоида; N = nl – общее число витков. Следовательно, индуктивность соленоида равна

,

 

где IS = V – объем соленоида. По этой формуле вычисляется индуктивность соленоида без сердечника или немагнитным сердечником (в том и другом случае μ = 1).

Если соленоид содержит ферромагнитный сердечник, то надо сначала определить значение магнитной проницаемости материала сердечника. Для этого надо знать ход кривой B = f(H) (рис.14).

 

 

Определив из условий задачи либо напряженность поля, либо магнитную индукцию, нужно по графику для данного материала определить недостающую из этих двух величин и затем найти

 

μ = B/(μ₀H).

Пример. Найти индуктивность соленоида с железным сердечником, если обмотка соленоида выполнена в один слой из проволоки диаметром 0,4 мм, витки плотно прилегают друг к другу. По соленоиду идет ток 1 А. Объем соленоида 1500 с³.

Решение. Индуктивность соленоида можно определить по формуле (1.4.3). Так как соленоид имеет магнитный сердечник, то сначала определим магнитную проницаемость последнего, как отношение B/(μ₀H). Для этого находим напряженность поля на оси соленоида по формуле H = In, где n (число витков на единицу длины) подсчитывается следующим образом: витки плотно прилегают друг к другу и общее число витков равно N = l /d (d – диаметр проволоки), n = N/ l = 1 /d.

Тогда напряженность

H = I/d = 1/(0,4·10^-3 ) = 2500 А/м.

 

Из графика (рис. 14) следует, что этому значению для железа соответствует магнитная индукция 1,4 Тл. Этих данных достаточно для определения дтносительной магнитной проницаемости сердечника и далее индуктивности. Подставив их в формулу (1.4.3), получим

 

 

Ответ: L = 5,25 Гн.