Построение линейного уравнения регрессии рассмотрим на

следующем примере: имеются экспериментальные данные исследования

Влияния времени вулканизации на сопротивление резины разрыву. Данные

наблюдения приведены в таблице 7.3. На основе приведённых данных

Провести исследование влияния времени вулканизации на качество

Резины.

Таблица 7.3.

Данные о времени вулканизации и сопротивлению

Резины

№

Анализа

Время

Вулканизации,

Мин

Сопротивление

Разрыву,

кг/ см2

№

Анализа

Время

Вулканизации,

Мин

Сопротивление

Разрыву,

кг/ см2

2 35 162 8 33 160

2 40 174 9 36 167

3 30 155 10 31 153

4 42 172 11 36 163

5 37 179 12 43 173

6 38 166 13 39 168

7 34 162 14 44 176

Результативный признак y – сопротивление резины, факторный x –

Время вулканизации.

Прежде чем подбирать соответствующую математическую функцию

И строить уравнение регрессии, необходимо проверить качество исходной

информации, уровень её вариации, нормальность распределения.

Для проверки совокупности на однородность по факторному

признаку, используется коэффициент вариации (≥ 33%) x V:

= ⋅100%

x

V x

x

σ

Среднее время вулканизации по данным таблицы 7.4. составляет

37.

x = 518 = мин

Таблица 7.4.

Вспомогательная таблица для расчета x и х σ

№ п/п x x − x (x − x)2 № п/п x x − x (x − x)2

1 35 -2 4 8 33 -4 16

2 40 +3 9 9 36 -1 1

3 30 -7 49 10 31 -6 36

4 42 +5 25 11 36 -1 1

5 37 0 0 12 43 +6 36

6 38 +1 1 13 39 +2 4

7 34 -3 9 14 44 +7 49

- - - Итого 518 - 240

()

Мин

n

X x

X 17.14 4.1

240 2

= = ≈

−

= σ Σ; 100 11,1%

ν = 4,1 ⋅ = X < 33%,-

Это означает, что изучаемая совокупность однородна.

Проверка первичной информации на нормальность

распределение проводится на основе «правила 3-х сигм»:

x ±1σ = 37 ± 4.1 = 39.2 ÷ 41.1;

x ± 2σ = 37 ± 2 ⋅ 4.1 = 3 ± 8.2 = 28.8 ÷ 45.2;

x ± 3σ = 37 ± 3 ⋅ 4.1 = 37 ±12.3 = 24.7 ÷ 49.3.

Для проверки составим следующую таблицу:

Таблица 7.5.

Проверка данных наблюдения на нормальность

Распределения

Интервалы

Значений

Признака

Число единиц

Попадающих

В интервал

Удельный вес

Единиц,

Попавших в

интервал, %

Удельный вес

Единиц, входящих

В интервал при

Нормальном

распределении,%

39,2 - 41,1 9 64,3 68,3

28,8 - 45,2 14 100,0 95,4

24,7 - 49,3 14 100,0 99,73

Первичная информация по факторному признаку не полностью

Подчиняется закону нормального распределения, однако это не является

Основанием для отказа использования корреляционно-регрессионного

_______анализа для описания связи между признаками.

Исключение из первичной информации аномальных значений

факторного признака, то есть значений, не попадающих в интервал x ± 3σ

(24,7< i x <49,3). Таких аномальных значений в первичной информации нет.

4.

5. Для установления факта наличия связи проведём

Аналитическую группировку. Она выполняется как равноинтервальная

группировка. При m=4, 3.5

max min 44 30 =

−

=

−

=

m

a x x, принимаем а = 4 мин.

Результаты группировки приведены в таблице 7.6:

Таблица 7.6.

Исследование зависимости сопротивления резины от времени

Вулканизации

№

Группы

Время

Вулканизации,

Мин

Номера

Анализов,

Попавших

В группу

Число

Анализов

Сопротивление

Резины

В группе, i y

Σ i y Среднее

Сопротивление

резины, кг/ см2

1 30-34 3,8,10 3 155,160,153

156,0

2 34-38 1,5,7,9,11 5 162,173,162,167,163 827 165,4

3 38-42 2,6,13 3 174,166,168 508 169,3

4 42-44 4,12,14 3 172,173,176 521 173,7

Итого 30-46 - 14 -

-

Анализ таблицы 7.6. позволяет сделать следующий вывод: связь между

Признаками существует, так как при увеличении времени вулканизации

Возрастает сопротивление резины. Графически это выглядит следующим

образом:

32 36 40 44

Рис. 7.3. Эмпирическая линия регрессии сопротивления резины на время

Вулканизации

Эмпирическая линия регрессии приближается к прямой.

Следовательно, можно считать, что между признаками имеется

прямолинейная связь вида yˆ = a + bx.

Коэффициент регрессии b рассчитаем по формуле:

();

*

2 2 Σ Σ

Σ Σ Σ

−

−

=

X x

Xy

n

X y

b

Параметр

n

Y b x

a Σ − Σ

=.

Для расчёта параметров составим вспомогательную таблицу:

Таблица 7.7.

Расчёт параметров уравнения регрессии

№

Анализа

I x

i y x2 x ⋅ y y 2 i yˆ i y -

i yˆ

(y − yˆ)2

162 1225 5670 26244 163.0 -1.0 1.0

174 1600 6960 30276 170.5 +3.5 12.25

155 900 4650 24025 155.5 -0.5 0.25

172 1764 7224 29584 173.5 -1.5 2.25

173 1369 6401 29929 166.0 +7.0 49.0

166 1444 6308 27556 167.5 -1.5 2.25

162 1156 5508 26244 161.5 +0.5 0.25

160 1089 5280 25600 160.0 0.0 0.00

167 1296 6012 27889 164.5 +2.5 6.25

153 961 4743 23409 157.0 -4.0 16.0

163 1296 5868 26569 164.5 -1.5 2.25

73 1849 7439 29929 175.0 -2.0 4.0

168 1521 6552 28224 169.0 -1.0 1.0

176 1936 7744 30976 176.5 -0.5 0.25

Итого

2324 19406 86359 386.454

2364,0

- 97.0

1.5

518 19.406

518 2324

2 =

−

⋅ −

b =;

110.5

2324 1.5 518 =

− ⋅

a =.

Уравнение регрессии имеет вид yˆ = 110.5 +1.5x. Параметры модели

могут быть интерпретированы следующим образом: коэффициент

регрессии b=1,5 показывает, что при увеличении времени вулканизации на

1 минуту сопротивление резины увеличивается на 1,5 кг/ см2. Параметр a =

Интерпретировать невозможно, так как среди наблюдаемых значений

факторного признака – времени вулканизации отсутствуют значения

Равные или близкие к нулю.

Аналогичным образом на основе МНК рассчитываются параметры

Нелинейной регрессии.

Для параболы второго порядка: yˆ = a + bx + cx2 получаем систему

нормальных уравнений следующего вида:

⎪ ⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅ = ⋅ + ⋅ +

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅

Σ Σ Σ Σ

Σ Σ Σ Σ

Σ Σ Σ

2 2 3 4

2 3

X y a x b x c x

X y a x b x c x

Y n a b x c x

Для показательной функции yˆ = a ⋅ b x предварительно необходимо