Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕриклади. ƒосл≥дити на зб≥жн≥сть ≥нтеграли.




4. .

ѕ≥д≥нтегральна функц≥€ задовольн€Ї нер≥вн≥сть

.

–озгл€немо ≥нтеграл , тому в≥н зб≥гаЇтьс€.  ористуючись першою ознакою пор≥вн€нн€, стверджуЇмо, що теж зб≥гаЇтьс€.

5. .

ѕ≥д≥нтегральна функц≥€ неперервна ≥ додатна при , причому справджуЇтьс€ така нер≥вн≥сть:

.

–озгл€немо ≥нтеграл - в≥н розб≥гаЇтьс€ , тому за ознакою пор≥вн€нн€, отримаЇмо, що ≥нтеграл теж розб≥гаЇтьс€.

 

Ќевласн≥ ≥нтеграли другого роду (в≥д необмежених функц≥й)

як в≥домо, необх≥дною умовою ≥нтегрованост≥ функц≥њ на в≥др≥зку Ї њњ обмежен≥сть. ѕроте Ї задач≥, що привод€ть до розгл€ду ≥нтеграла в≥д функц≥њ, €ка майже на всьому в≥др≥зку обмежена ≥ стаЇ необмеженою поблизу де€коњ точки, наприклад, поблизу одн≥Їњ чи обох меж. “од≥ природно поширити пон€тт€ визначеного ≥нтеграла ≥ на так≥ функц≥њ, вв≥вши при цьому додатков≥ означенн€.

ќтже, нехай функц≥€ задана на в≥др≥зку , кр≥м, можливо, к≥нц≥в, ≥ Ї необмеженою, наприклад, поблизу точки , зокрема на в≥др≥зку , де . Ќехай Ї обмеженою ≥ ≥нтегрованою на будь-€кому в≥др≥зку . “очку при цьому називають особливою точкою функц≥њ .

ќзначенн€ 1. Ќевласним ≥нтегралом другого роду функц≥њ на пром≥жку називаЇтьс€ границ€ ≥ позначають

 

. (3.5)

 

якщо ц€ границ€ ск≥нчена, то ≥нтеграл називаЇтьс€ зб≥жним. якщо границ€ неск≥нченна, або взагал≥ не ≥снуЇ, тод≥ ≥нтеграл називаЇтьс€ розб≥жним. ‘ункц≥€ при цьому називаЇтьс€ ≥нтегрованою на даному пром≥жку.

Ќехай тепер функц≥€ Ї обмеженою ≥ ≥нтегрованою на будь-€кому в≥др≥зку , ≥ не Ї ≥нтегрованою на в≥др≥зку .

 

ќзначенн€ 2. Ќевласним ≥нтегралом другого роду функц≥њ на пром≥жку називаЇтьс€ границ€ ≥ позначають

 

. (3.6)

 

” цьому випадку точка вважаЇтьс€ особливою точкою функц≥њ .

«б≥жн≥сть (розб≥жн≥сть) ≥нтеграла й ≥нтегрован≥сть функц≥њ на в≥дпов≥дному пром≥жку визначають так само, €к ≥ дл€ ≥нтеграла (3.5). ≤нш≥ можлив≥ випадки можуть бути зведен≥ до вже розгл€нутих.

–озгл€немо випадок, коли особливими точками функц≥њ Ї одночасно точки й . ÷е означаЇ, що функц≥€ необмежена на та на , а на будь-€кому в≥др≥зку вона Ї ≥нтегрованою.

“од≥ покладають , де - дов≥льна точка ≥нтервалу .

¬ цьому раз≥ . (3.7)

 

≤нод≥ може трапитис€ випадок, коли п≥д≥нтегральна функц≥€ Ї необмеженою поблизу точки , €ка знаходитьс€ всередин≥ в≥др≥зка . ¬ ≥нших частинах в≥др≥зка функц≥€ ≥нтегрована. “обто точка Ї особливою точкою функц≥њ .

“од≥ покладають , але тепер у ц≥й р≥вност≥ обидва ≥нтеграла правоњ частини означаютьс€ формулами (3.5) та (3.6). ѕозначають: . (3.8)

¬исновок про зб≥жн≥сть ≥нтеграла у формулах (3.7) та (3.8) робл€ть т≥льки в тому випадку, коли обидв≥ границ≥ правих частин цих формул, знайден≥ незалежно одна в≥д одноњ, ≥снують ≥ ск≥нченн≥. ≤нтеграл розб≥гаЇтьс€, €кщо хоча б одна з цих границь неск≥нченна або взагал≥ не ≥снуЇ.

«ауважимо, що ознаки зб≥жност≥ невласних ≥нтеграл≥в другого роду аналог≥чн≥ под≥бним ознакам дл€ ≥нтеграл≥в першого роду. ѕри досл≥дженн≥ на зб≥жн≥сть ≥нтеграл≥в, де особливою точкою Ї точка , дл€ пор≥вн€нн€ використовують функц≥њ , ≥нтеграл в≥д €ких зб≥гаЇтьс€, €кщо ≥ розб≥гаЇтьс€, €кщо . якщо особливою точкою функц≥њ Ї точка , використовують функц≥њ , ≥нтеграл в≥д €ких так само зб≥гаЇтьс€ при ≥ розб≥гаЇтьс€ при .





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1065 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћюди избавились бы от половины своих непри€тностей, если бы договорились о значении слов. © –ене ƒекарт
==> читать все изречени€...

761 - | 610 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.013 с.