Нехай функція 
визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області 
. Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшого 
і найменшого 
значень (т.3. глобальний екстремум). Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області.
Правило знаходження найбільшого і найменшого значень диференційованої в області функції полягає в наступному:
1. Знайти всі критичні точки функції, що належать і обчислити значення функції в них;
2. Знайти найбільше і найменше значення функції на кінцях області;
3. Порівняти всі знайдені значення функції і вибрати з них найбільше і найменше .
Приклад. Знайти щонайбільше і якнайменше значення функції 
в замкнутій області, обмеженій лініями:
, 
, 
, 
(див. рис.)
◄ Тут 
1. Знаходимо всі критичні точки:
Розв’язком системи є точки 
Жодна із знайдених точок не належить області 
.
2. Досліджуємо функцію 
на межі області, що складається з ділянок 
(рис.).
На ділянці 
: , 
, де 
, 
, 
. Значення функції 
, 
.
На ділянці 
:
, 
, де 
,
, 
. Значення функції , 
.
На ділянці 
: , 
; 
; 
. Значення функції 
На ділянці 
: 
,
Значення функції 
3. Порівнюючи отримані результати, маємо: 
а
►
Тема 12. Розв’язування вправ на дослідження функції двох змінних на екстремум.
Поняття максимуму, мінімуму, екстремуму функції двох змінних аналогічні відповідним поняттям функції однієї незалежної змінної.
Приклад. Знайти екстремум функції 
.
◄ Тут 
Точки, в яких частинні похідні не існують, відсутні.
Знайдемо стаціонарні точки, розв’язуючи систему рівнянь:
Звідси одержуємо точки 
і 
Знаходимо частинні похідні другого порядку даної функції: 
В точці маємо: 
, звідси 
тобто 
Оскільки 
, то в точці функція має локальний максимум
В точці 
: 
і, значить 
. Проведемо додаткове дослідження. Значення функції в точці 
рівне нулю: 
. Можна помітити, що 
при 
, 
при , 
. Значить, в околі точки 
функція приймає як негативні, так і позитивні значення. Отже в точці функція екстремуму не має. ►
ПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ
САМОСТІЙНОГО
ОПРАЦЮВАННЯ МАТЕРІАЛУ
Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій.
Завдання для самоконтролю:
1.1. Знайти границю функції: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Питання для самоконтролю:
1. Поняття границі функції в точці.
2. Основні теореми про границі.
3. Перша важлива границя.
4. Друга важлива границя.
Тема 2. Правило Лопіталя.
Завдання для самоконтролю:
2.1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя: а) 
;
б) 
; в) 
; г) 
.
Питання для самоконтролю:
1. Правило Лопіталя та його наслідок.
2. Розкриття невизначеностей вигляду: 
