Тема 11. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.

Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області . Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшого і найменшого значень (т.3. глобальний екстремум). Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області.

Правило знаходження найбільшого і найменшого значень диференційованої в області функції полягає в наступному:

1. Знайти всі критичні точки функції, що належать і обчислити значення функції в них;

2. Знайти найбільше і найменше значення функції на кінцях області;

3. Порівняти всі знайдені значення функції і вибрати з них найбільше і найменше .

Приклад. Знайти щонайбільше і якнайменше значення функції в замкнутій області, обмеженій лініями:

, , , (див. рис.)

◄ Тут

1. Знаходимо всі критичні точки:

 

Розв’язком системи є точки

Жодна із знайдених точок не належить області .

2. Досліджуємо функцію на межі області, що складається з ділянок (рис.).

На ділянці : , , де

, , . Значення функції , .

На ділянці :

, , де ,

, . Значення функції , .

На ділянці : ,

; ; . Значення функції

На ділянці : ,

Значення функції

3. Порівнюючи отримані результати, маємо: а

►

 

Тема 12. Розв’язування вправ на дослідження функції двох змінних на екстремум.

Поняття максимуму, мінімуму, екстремуму функції двох змінних аналогічні відповідним поняттям функції однієї незалежної змінної.

 

Приклад. Знайти екстремум функції .

◄ Тут Точки, в яких частинні похідні не існують, відсутні.

Знайдемо стаціонарні точки, розв’язуючи систему рівнянь:

Звідси одержуємо точки і

Знаходимо частинні похідні другого порядку даної функції:

В точці маємо: , звідси тобто

Оскільки , то в точці функція має локальний максимум

В точці : і, значить . Проведемо додаткове дослідження. Значення функції в точці рівне нулю: . Можна помітити, що при , при , . Значить, в околі точки функція приймає як негативні, так і позитивні значення. Отже в точці функція екстремуму не має. ►

 

ПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ

САМОСТІЙНОГО

ОПРАЦЮВАННЯ МАТЕРІАЛУ

 

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій.

Завдання для самоконтролю:

1.1. Знайти границю функції: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Питання для самоконтролю:

1. Поняття границі функції в точці.

2. Основні теореми про границі.

3. Перша важлива границя.

4. Друга важлива границя.

Тема 2. Правило Лопіталя.

Завдання для самоконтролю:

2.1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя: а) ;

б) ; в) ; г) .

Питання для самоконтролю:

1. Правило Лопіталя та його наслідок.

2. Розкриття невизначеностей вигляду: