Барометрическая формула – зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести.
Рассмотрим идеальный газ в равновесном состоянии внутри куба с ребром 
. Давление газа на рани куба обусловлено ударами молекул. Молекулы находятся в однородном поле тяготения, температура постоянна, масса всех молекул одинакова.
Действительно, молекулы любого газа в реальности находятся в поле тяготения Земли.
Тяготение и тепловое движение приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.
Если считать, что плотность газа по всему объёму постоянна 
то аэростатическое давление на глубине 
, будет равно:
, (1)
где 
– ускорение свободного падения.
Формулой (1) можно пользоваться для вычисления давления очень тонких горизонтальных слоёв газа.
Пусть 
– давление газа на высоте . Тогда с увеличением высоты на бесконечно малую величину 
давление понизится на величину:
. (2)
Из уравнения Менделеева –Клапейрона следует, что плотность газа равна:
(3)
Тогда:
, (4)
или
. (5)
Проинтегрируем (5) от 
до (при 
):
,
где 
– давление на высоте 
.
Тогда барометрическая формула примет вид:
, (6)
Из выражения (6) получим: 
.
Давление газа связано с концентрацией молекул:
, (7)
где 
– число молекул в единице объёма (концентрация молекул).
При 
, получим:
, (8)
где 
– концентрация молекул при давлении (при 
).
Тогда уравнение (6) примет вид: 
.
Так как 
,а 
, где 
– потенциальная энергия молекулы в поле тяготения Земли.
Получаем распределение Больцмана: 
При постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.
Если 
,то 
, т.е. повышение температуры ведёт к выравниванию концентрации молекул газа по объёму.
Если 
, то 
, т.е. все молекулы под действием силы тяжести будут опускаться на дно сосуда.
Атмосфера Земли существует лишь вследствие теплового движения частиц воздуха.
Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.
Рис. 115.
|
Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Чем выше температура
, тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести 
(при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести может изменяться за счёт двух величин: ускорения 
и массы частиц 
. Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте (рис. 115). На рис.115 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.
Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.
