Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння є цілим числом.

Лінійні рівняння з параметрами

1. Теоретичний матеріал

В результаті опрацювання запропонованого матеріалу в учнів формується поняття про те, яким чином значення параметру впливає на множину розв’язків рівняння. Також формуються навички проводити попередні дослідження у разі знаходження коренів лінійного рівняння.

Найпростіші лінійні рівняння з параметрами

Зазначимо, що будь-яке лінійне рівняння можна записати у вигляді , де і — деякі числа, х — змінна.

• якщо , то при будь-якому значенні рівняння має єдиний корінь ;

• якщо , , то рівняння коренів не має;

• якщо , , то рівняння має безліч коренів, усі числа.

Параметр — це невідома постійна величина в рівнянні, яка не розглядається як така, що треба знайти, а навпаки, корені рівняння знаходять залежно від цієї величини.

Розв’язати рівняння з параметрами означає з’ясувати, при яких значеннях параметрів рівняння має корені і знайти їх (як правило, залежно від параметрів, тобто розв’язування рівняння повинно супроводжуватись дослідженням).

Наприклад у рівнянні , х — змінна величина, яку треба знайти залежно від параметра а. Перетворивши це рівняння, дістанемо: . Отже, при ; при а = 0 рівняння коренів не має.

№80

Розв’язати рівняння залежно від параметрів а і b.

Розв’язання

Виконавши у рівнянні тотожні перетворення, дістанемо: .

• Якщо , то при будь-якому b;

• якщо , то при рівняння набуває вигляду , тобто

коренями рівняння є всі числа;

• якщо і , дістанемо , причому , така рівність неможлива, тому рівняння коренів не має.

Відповідь. При і будь-якому b ; при і корені рівняння — всі числа; при і коренів немає.

 

№81

Розв’язати рівняння залежно від а.

Розв’язання

Запишемо рівняння у вигляді:

.

Добуток дорівнює нулю при або , тому розглянемо такі випадки:

1) при рівняння набуває вигляду , яке коренів не має;

2) при дістанемо рівняння , корені якого - всі числа;

3) при , тому .

Відповідь. При ; при корені рівняння — всі числа; при коренів немає.

 

№82

Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Рівність виконується, якщо або .

Розглянемо кожний випадок окремо.

1) ,

, .

Якщо , то рівняння набуває вигляду . Рівняння коренів не має.

Якщо , то .

2) , , , .

Якщо , то рівняння набуває вигляду . Рівняння коренів не має.

Якщо , то .

Відповідь. При , ; при ; при .

№83

При яких значеннях параметра a рівняння.

а) не має коренів;

б) має тільки один корінь;

в) має два корені.

Розв’язання

а) рівняння не має коренів, якщо a – від’ємне число;

б) рівняння має один корінь, якщо , тоді , ;

в) рівняння має два корені, якщо a – додатне число, маємо ,

; .

№84

Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння має безліч коренів.

Розв’язання

Коренями рівняння є всі точки відрізка (безліч коренів), якщо .

Маємо або ,

; .

Дійсно, якщо , маємо рівняння , так як , то коренями рівняння є всі точки відрізка .

Якщо , маємо рівняння . Так як , то коренями рівняння є всі точки відрізка .

Відповідь. -4; 2.

№85

Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння є цілим числом.

Розв’язання

Якщо , маємо , рівняння коренів не має.

Якщо , то .

За умовою - ціле число, це можливо, якщо приймає значення .

2. Практичний матеріал

Завдання для самостійного розв’язування

№86. При якому значенні а рівняння:

а) не має коренів;

б) має коренем будь-яке число;

в) має безліч коренів.

№87. Розв’яжіть рівняння залежно від параметрів a i b:

а) ; б) .

№88. Розв’яжіть рівняння залежно від параметра a:

а) ; б) ; в) .

 

 

Увага!