Общие понятия теории рядов. Свойства рядов. Необходимы признак сходимости числового и функционального ряда
Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов. Ряд может быть - числовым; знакопостоянным; знакопеременным; знакоположительным; знакочередующимся; функциональным; степенным; тригонометрическим.
Числовым рядом называется сумма вида
, (1.1)где 
, 
, 
,…, 
,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член 
называется общим членом ряда. Суммы
…………..
,составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда. Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм 
.Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда 
стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число 
- суммой сходящегося ряда, т.е. 
и 
.Эта запись равносильна записи 
.Если частичная сумма 
ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к 
или 
), то такой ряд называется расходящимся.
Разность 
называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. 
, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.
Простейшие свойства рядов
Теорема 1. Если члены сходящегося ряда, не меняя их порядка, объединить в конечные группы и составить ряд из сумм этих групп, то он будет сходиться и иметь сумму, равную сумме первоначального ряда. Иначе говоря, если a 1 + a 2 + a 3 +... = S и n 1 < n 2 < n 3 <..., то
Теорема 2. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то вновь полученный ряд будет сходиться, и его сумма будет равна сумме первоначального ряда, умноженной на то же число. Иначе говоря, если a 1 + a 2 + a 3 +... = S, то ca 1 + ca 2 + ca 3 +... = cS.
Необходимый признак сходимости ряда.
Ряд 
может сходиться только при условии, что его общий член 
при неограниченном увеличении номера 
стремится к нулю: 
.
Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: 
.Придавая 
определенное значение 
, получим числовой ряд 
,который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Ряд Фурье для периодической функции
3. Раложение периодической функции на интервале 
4. Разложение периодической функции на интервале [-l; l]
5. Разложение чётной периодической ф-ии на интервале [0;π]
6. Разложение нечётной периодической ф-ии на интервале [0;π]
Разложение ф-ии в ряд по ф-иям ортогональной системы
8. Разложение ф-ии в ряд по sin на интервале [0;π]
9. разложение ф-ии в ряд по cos на интервале [0;π]
Представление ф-ий в виде интеграла Фурье
Понятие о преобразовании Фурье
