Задача о формировании рациона

Вербальная модель

Для составления дневного рациона имеем в наличии n различных кормов. Для получения сбалансированного рациона (белки, витамины, микроэлементы и др.) необходимо чтобы в него входило m различных ингредиентов, причем каждый i -й ингредиент должен входить в количестве не меньше b _i (), a _ij – количество i -го ингредиента в одной единице j -го вида корма, c _j – стоимость одной единицы j -го корма.

Требуется сформировать ежедневный рацион, так чтобы он был обеспечен всеми необходимыми ингредиентами и имел минимальную стоимость.

Математическая модель

Введем вектор - рацион, где x _j – количество j - го вида корма в рационе.

По аналогии с предыдущей задачей математическая модель задачи формирования рациона будет иметь вид

, (1.3.2.1)

, (1.3.2.2)

(1.3.2.3)

Заметим, что полученная математическая модель недостаточно адекватно отражает искомую цель, т.к. в вербальной модели описаны не все необходимые зависимости.

В самом деле, если предположить, что среди выбранных кормов присутствует, например, прошлогодняя солома, стоимость которой равна нулю, а все имеющиеся ингредиенты присутствуют в ней в исчезающее малых количествах, то при решении задачи может получиться, что ежедневный рацион должен состоять только из прошлогодней соломы и составлять, например, пятнадцать тонн, что, разумеется, невозможно.

Отсюда следует, что ограничение (1.3.2.2) необходимо заменить на , где D – вектор верхних границ переменных x _j.

Задание для самостоятельной работы

Если (1.3.2.1)-(1.3.2.3) оставить в исходном виде, то какие еще «неприятности» мы можем еще получить в оптимальном плане?

 

Транспортная задача

Вербальная модель

Имеется m поставщиков некоторого продукта. A _i () – количество продукта у i -го поставщика.

Имеется n потребителей этого продукта. B _j () – потребность j -го потребителя.

с _ij – затраты на перевозку единицы продукта (1т, 1кг, 1 банки и т.д.) от i -го поставщика к j -му потребителю.

Требуется составить план перевозки продукции от поставщиков к потребителям так, чтобы суммарные затраты на перевозку были минимальными (имеется ввиду, что перевозки осуществляет одна фирма).

Предполагается выполнение условия баланса:

,

то есть суммарное наличие продукта у всех поставщиков равно суммарной потребности всех потребителей.

Математическая модель

Пусть – количество продукции, которое перевозят от i -го поставщика к j –му потребителю.

Так как есть условие баланса , то возникают ограничения:

1) От каждого поставщика должна быть вывезена вся продукция

.

2) Каждый потребитель должен быть удовлетворен, т.е. должно быть перевезено столько продукции, сколько нужно, ни больше, ни меньше.

.

Целевая функция будет выглядеть следующим образом:

.