Включение в RC-цепь постоянного напряжения

 

При t→ ∞, , т.е . Из начальных условий определим А.

, поэтому из условия ,

получим

 

Таким образом, при t≥0:

и . (6)

 

Видно что нарастает по экспоненциальному закону, стремясь к . Скорость нарастания зависит от

 

(7)

 

Ток, определяемый выражением (7), убывает по экспоненте.

Аналогично изменяется напряжение на сопротивлении:

 

 

 

Во время переходного процесса в емкости накапливается электрическая энергия. При t→ ∞

 

 

Одновременно часть энергии, отдаваемой источником, расходуется в активном сопротивлении. Энергия теряемая и накапливаемая равны

 

4.2) Включение в цепь RC гармонического напряжения.

 

Пусть при t≥0: .

 

Решение . Найдем .

 

Ток в цепи

 

Напряжение на емкости отстает по фазе от тока на 90º. Поэтому вынужденное напряжение на конденсаторе:

 

 

где .

Напряжение на конденсаторе имеет вынужденную и свободную составляющие:

 

Определим А из начальных условий. Так как при t=(0+), =0, то

 

 

Следовательно, напряжение на конденсаторе во время переходного процесса при воздействии на цепь гармонического изменяющегося напряжения равно:

 

 

Характер изменения зависит от соотношений и .

1.б) пусть в момент включения источника мгновенное значение напряжения на емкость равно 0.

Это имеет место при . При этом собственных процессов не возникает, в цепи сразу устанавливается стационарный режим:

 

_,

где

2.б) в общем случае , тогда существенно отличается от напряжения вынужденных колебаний. Так при , имеем (при большом τ_с , τ_с >>Т) напряжение изменяется по закону , но относительно кривой .

 

 

 

4.3)Разряд конденсатора на сопротивление.

 

Пусть в цепи RC с заряженным конденсатором С установливается режим короткого замыкания.

Так как при t>0 внешнего воздействия нет, то в цепи будут только собственный процесс (т.е. свободный режим). Поэтому . Определим А.

Так как конденсатор был заряжен, то в момент t=(0+) , тогда , А= .

Окончательно получим: .

 

Ток разряда

 

 

«-» ─ направление тока противоположно току заряда. Закон изменения и ─ экспоненциальный.

 

 

При разряде электрическая энергия конденсатора расходуется в виде тепловых потерь на сопротивлении.

 

 

ВЫВОДЫ

 

1) Переходные процессы в цепях описываются дифференциальными уравнениями. Порядок дифференциальных уравнений определяется количеством реактивных элементов L и C.

2) Классический метод решений дифференциальных уравнений. Переходный процесс складывается из свободной (или переходящей, временной) составляющей и вынужденной составляющей. Свободная составляющая зависит от типа цепи и для рассмотренных цепей имеет вид (или ). Вынужденная составляющая зависит от вида воздействия и представляет собой электрическую величину (i или u) в установившемся режиме.

Цепь RC:

а) Реакция на скачок: i_в= I₀, i_св =-I .

б) При синусоиде: ,

ЦЕПЬ RL:

а) Реакция на скачок: ,

б) При синусоиде: ,

(зависимость от угла как в цепи RL, только с противоположным знаком).

 

3) Законы изменения i, U_R, U_L, U_C ─ экспоненциальные при скачках входного напряжения.

4) При синусоидальном воздействии переходной процесс имеет адиттивный характер: гармонический процесс (вынужденная составляющая) накладывается на собственный процесс; если собственная составляющая равна 0, то имеет место только установившейся режим.

5) При разряде L или C энергия магнитного или электрического поля расходуется в виде тепла на сопротивление R.

 

Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов.

 

1) Сначала проводят анализ цепи до коммутации ─ определяют токи индуктивностей и напряжения на емкостях в момент времени, непосредственно перед коммутацией (t=0-).

2) Определение независимых начальных условий ─ токи индуктивностей (i_L)и напряжения на емкостях (U_C) в момент t=(0+) находят с помощью законов коммутации.

3) Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации (при ). Получают из системы уравнений для цепи (1-й и 2-й законы Кирхгофа) путем исключения всех переменных, кроме искомой.

4) Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации (при ) ─ находят вынужденную составляющую реакцию цепи (для искомой величины).

5) Определение свободной составляющей искомой величины (реакции цепи) ─ решение однородного дифференциального уравнения: составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи.

6) Нахождение общего вида реакций цепи ─путём суммирования свободной и вынужденной составляющих.

7) Определение постоянных интегрирования ─ по начальным условиям, в начальный момент после коммутации.

8) Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям ─ подставить постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения.