Она определяет установившееся значение искомой величины.

Указанные изменения в цепях называются коммутациями.

 

Переход цепи от одного стационарного режима к другому происходит в течении некоторого интервала времени, который и определяет длительность переходных процессов.

Конечная длительность переходных процессов обусловлена наличием в цепи реактивных элементов, и, особенностями изменения энергии электромагнитного поля в реактивных элементах.

 

Эти особенности определяются законами коммутации.

1^й закон коммутации

В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменятся именно с этих значений.

 

т.е. (1)

 

2^й закон коммутации

В любой ветви с ёмкостью, напряжение и заряд на ёмкости в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, начиная именно с этих значений

т.е. (2)

 

Ток в индуктивности и напряжение на ёмкости не могут изменяться мгновенно потому, что запасённая в этих элементах энергия

 

; , (3)

 

не может изменяться скачком, т.к.это будет характеризовать бесконечно большую мощность ( ), что лишено физического смысла.

Существуют различные методы расчета переходных процессов:

Классический; 2) операторный; 3) метод интеграла Дюамеля;

4) спектральный метод и др.

 

Классический метод анализа переходных процессов.

Общие решения.

Классический метод расчета переходных процессов заключается в решении дифференциальных уравнений, составленных для послекоммутационной схемы. Обычно эти уравнения составляются по законам Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов.

Рассмотрим цепь R, L, C при воздействии e(t).

Рисунок 1.1

 

Запишем II закон Кирхгофа:

 

(1)

 

где i ─ ток переходного процесса.

 

Преобразуем уравнение (1): продифференцируем и разделим на L:

(2)

Получили дифференциальное уравнение 2^го порядка.

Для произвольной цепи переходные процессы в ней описываются следующим уравнением:

 

, (3)

 

Здесь: y(t) ─ искомая функция;

F(t) ─ воздействие;

a₀, a₁,…a_n ─ коэффициенты.

Известно, что решение линейного дифференциального уравнения с правой частью представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

 

(4)

 

где y₁(t) ─ частное решение исходного уравнения

y₂(t) ─ решение однородного уравнения(без правой части):

 

(5)

 

Функция y₁(t) зависит от вида внешнего вынуждающего воздействия и называется вынужденной составляющей:

(6)

Она определяет установившееся значение искомой величины.

 

Функция y₂(t) характеризует процессы в цепи при отсутствии воздействия; эти процессы протекают за счет энергии, накопленной в цепи, и называется собственной или свободной составляющей:

(7)

 

Таким образом, переходный процесс в цепи складывается из вынужденной и свободной составляющих токов и напряжений.

(8)

 

Обе составляющие связаны между собой начальными условиями.

 

3. Переходные процессы в цепи RL.

 

Цепь RL подключается к источнику внешнего напряжения в момент t=0. Определим ток при t>0.

Рисунок 1.2

 

Запишем для цепи уравнение по II закону Кирхгофа

(1)

Имеем дифференциальное уравнение I-го порядка

 

(2)

 

Решение дифференциального уравнения представляется как сумма свободной и вынужденной составляющих (вынужденная или принужденная составляющая):

(3)

Свободная составляющая тока представляет решение однородного уравнения:

(4)

Его характеристическое уравнение имеет вид: .

Корень этого уравнения: . (5)

Тогда решение для свободной составляющей принимает вид:

 

(6)