Методы оптимизации проектных решений

Постановка задачи оптимизации

Одна из главных целей проектирования систем управления состоит в оптимизации решений, т. е. в достижении заданных характеристик систем при наименьших затратах или наилучших характеристик при ограниченных затратах ресурсов. Под ресурсами при этом понимается время, материалы, персонал, производство, денежные средства и.т. д.

Сущность оптимизации сводится к отысканию при наложенных ограничениях таких значений переменных х₁, х₂,..., х_n, которые обращают в минимум (или максимум)

целевую функцию

Z =Z(х₁, x₂,..., х_n).

Здесь х₁, х₂,..., х_n - проектные параметры (не зависимые переменные), полностью и однозначно определяющие решаемую задачу проектирования.

Проектные параметры представляют собой неизвестные величины, значения которых определяют в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания систем управления: размеры, массы, время и т. д.

КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ

Математические методы оптимизации, обычно используемые при проектировании систем управления, можно классифицировать так, как это показано на рис. 3.7.Поисковые методы применены для решения любых задач оптимизации при проектировании систем управления как для унимодальных целевых функций, так и для функций многих переменных, однако весьма трудоемки. Унимодальной называется целевая функция, имеющая в заданном интервале значений проектных параметров одно экстремальное. Так, функция f(х) на интервале [О, а] будет унимодальной, если она строго возрастает (или убывает) при х ≤ х_m и х ≥ х_m где х_m - точка эстремума из интервала [О,а), т. е. о ≤ х_m ≤ a. Очевидно, что всякая выпуклая функция на интервале изменения [О,а] одновременно и унимодальна. Однако обратное утверждение может быть и несправедливо. Следует иметь в виду, что во многих случаях целевые функции в задачах проектирования систем управления являются унимодальными.

Аналитические методы предпочтительнее других, поскольку позволяют получить достаточно полное и общее представление об исследуемом объекте, наглядно установить влияние проектных параметров и ограничений на

Рис. 2 Классификация математических методов оптимизации

целевую функцию. Однако их применение во многих случаях ограничивается характером целевой функции и ограничений.

Численные методы являются наиболее универсальными, хорошо ориентированы на использование ЭВМ, весьма продуктивны при оптимизации многошаговых процессов, какими, в частности, являются процессы проектирования систем управления. Особенно хорошо развиты методы оптимизации линейных целевых функций при линейных ограничениях.

Комбинаторные методы получили бурное развитие начиная с 60-х годов нашего столетия в связи с решением задачи о коммивояжере. Эти методы хорошо ориентированы на использование ЭВМ.

Эвристические методы направлены на решение задач, недостаточно четко формализованных, например задача трассировки, используются также в случаях, когда применение других методов ограничивается возможностями вычислительной техники.

Теоретико-игровые методы используются в конфликтных ситуациях, т. е. для решения задач с неполной информацией, когда исход процесса зависит от действия двух или более сторон, преследующих различные цели. При этом результат действия одной из сторон зависит от образа действия других.

Стохастические методы позволяют решать условно экстремальные задачи при вероятностной информации о параметрах исследуемого процесса. Как отмечалось выше, исходная информация для проектирования систем управления недостаточно достоверна и изменяется в процессе проектирования. При этом отдельные или все проектные параметры, критерии качества и ограничения могут оказаться неопределенными и случайными.