Підмножина. Рівність множин.

Означення 2.5. Множина називається підмножиною множини , якщо кожен елемент є елементом .

Для позначення цього факту вводиться знак «» – символ включення (або «»); іншими словами, .

Якщо необхідно підкреслити, що множина містить також інші елементи, крім елементів множини В, то використовують символ строгого включення: . Зв’язок між символами і задається виразом . Загалом будемо використовувати символ «».

Говорять, що множина є істинною (або власною, від слова «власне») підмножиною , якщо і на відміну від неістинних (або невласних) підмножин Æ та будь-якої множини .

Приклад 2.8. Стосовно вищенаведеного приклада підмножинами множини U співробітників деякої фірми є множини , , , , , , , , . Крім того можна розглядати, що

– множина співробітників фірми, яким за віком більш 40 років, є підмножиною множини співробітників за віком більш 30 років.

, – множина співробітників фірми за віком не більш 30 років, які мають стаж роботи не більш 5 років, є підмножиною множини співробітників фірми, яким за віком не більш 30, й одночасно є підмножиною множини співробітників фірми, які мають стаж роботи не більш 5 років.

Підкреслимо, що всі наведені приклади підмножин є прикладами істинних підмножин.

Порожня множина не містить елементів. Отже, додаючи до множини порожню множину, ми фактично нічого не додаємо. Тому завжди можна вважати, що будь-яка множина містить порожню множину як підмножину.

Приклад 2.9. Нехай – людська істота} і – людська істота жіночої статі}; тоді зрозуміло, що , а – істинна підмножина .

Треба бути уважним, щоб розрізняти елементи множини та підмножини цієї множини. Наприклад, коли пишуть це означає, що елемент є членом множини, що складається з трьох елементів: , і . Коли ж пишуть , це означає, що множина, що складається з одного елемента , є підмножиною множини, яка складається з трьох елементів: , , .

Таким чином, якщо Розов А.Ю. є студентом групи 1ЕК, то це означає, що цей студент є елементом множини студентів групи 1ЕК. Якщо це єдиний студент цієї групи, який склав зимову сесію на “відмінно”, то студент Розов А.Ю., є єдиним елементом множини студентів-відмінників групи 1ЕК за результатами зимової сесії, при чому .

Означення 2.6. Дві множини рівні, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів:

.

Наприклад, .

Справджується таке твердження:

Тоді і тільки тоді, коли.

Можна довести таке твердження: включення множин транзитивне, тобто справджується така рівність:

якщо , то .

 

Множина підмножин

Слід розуміти, що елементи множини самі можуть бути деякими множинами. Наприклад, книга з множини книг у шафі може розглядатися як множина сторінок. Потрібно звернути увагу на те, що йдеться про елементи множини, а не про підмножини (ніяка сукупність сторінок не може розглядатися як підмножина множини книг).

Множина груп факультету складається із груп, тобто елементом множини є група, як неподільне ціле, в той самий час кожна група є множиною студентів, але окремий студент не є елементом множини груп факультету.

Означення 2.7. Множину, елементами якої є всі підмножини множини , називають множиною підмножин (множиною-степенем) множини і позначають .

Приклад 2.10. Для триелементної множини маємо

.

У разі кінцевої множини , що складається з n елементів, множина підмножин містить елементів. Слід підкреслити відмінності між відношенням належності () і відношенням включення (). Як уже зазначалося, множина може бути своєю підмножиною (), але вона не може входити до складу своїх елементів (). Навіть у разі одноелементних підмножин потрібно відрізняти множину та її єдиний елемент а (дивись приклад). Відношення включення має властивість транзитивності, відношення належності цієї властивості не має. Тобто, із того, що не витікає, що , як здається на перший погляд.

Приклад 2.11. Розглянемо такі множини , . Дійсно , але .

 

Алгебра множин

Закони алгебри множин

Операції над множинами, як і операції над логічними змінними, мають деякі властивості. Останні виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретного вмісту множин, що входять у них, і є підмножинами деякого універсуму . Ми вже знаємо, що множина об’єктів разом з операціями утворюють алгебру. Множина всіх множин разом з операціями об’єднання, перерізу і абсолютного доповнення утворюють алгебру, яка називається алгеброю множин. Її основні властивості або закони алгебри множин наведені нижче.

Комутативні закони

а) ;

б) .

Асоціативні закони

а) ;

б) .

Дистрибутивні закони

а) ;

б) .

Властивості Æ та

4 а) ;	4 б) .
5 а) ;	5 б) .
6 а) ;	6 б) .
7 а) ;	7 б) .

Закон ідемпотентності (самопоглинання)

8 а) ;

8 б) .

Закон поглинання

9 а) ;

9 б) .

Теорема де Моргана

10 а) ;

10 б) .