Методические аспекты обучения решению уравнений отдельных видов

1. Квадратные уравнения.

1.1. Приведём более простой по сравнению с учебником способ вывода формулы корней квадратного уравнения.

Рассмотрим квадратное уравнение , где а ¹ 0.

Умножим обе части уравнения на 4 а, получим уравнение , равносильное данному по свойству 2.

Выделим полный квадрат , .

Введём обозначение и назовём полученное выражение дискриминантом (в переводе «различитель»). Уравнение примет вид .

Рассмотрим 3 случая.

1случай. 2случай 3 случай.

D>0. D=0. D<0.

Тогда , Корней нет.

Делаем вывод о количестве корней уравнения. Авторы учебника [2] считают, что во втором случае уравнение имеет один корень. Их точка зрения понятна, если исходить из того, что решить уравнение – это значит найти множество его корней. Тогда запись { , } - безграмотна. С другой стороны, основная теорема алгебры утверждает, что уравнение имеет столько корней, какова его степень. Значит, квадратное уравнение имеет в этом случае два корня. В высшей алгебре вводится понятие кратного корня. Поэтому можно сказать, что корень один, но кратность его равна 2. В школьном курсе понятие кратности корня не используется, поэтому говорят, что уравнение имеет два равных корня.

1.2. Следует добиться знания всеми учащимися формулы корней квадратного уравнения со вторым чётным коэффициентом:

.

1.3. Важным средством проверки правильности решения квадратного уравнения служит теорема Виета, а обратная теорема позволяет устно найти корни квадратного уравнения. Поэтому следует настойчиво формировать умение учащихся применять эти теоремы.

1.4. Иногда рассматривается формула корней приведённого квадратного уравнения : Для запоминания формулы Радионяня сочинила стишок:

Чтобы решить уравненье,

Корни его посчитать,

Нужно немного терпенья

Ручка, перо и тетрадь.

Минус напишем сначала,
Рядом с ним р пополам,

Плюс, минус знак радикала,

С детства знакомого нам.

Ну а под корнем, приятель,

Сводится всё к пустяку:

р пополам и в квадрате,

Минус несчастное q.

Старомодно, но запомнить помогает.

2. Дробные рациональные уравнения.

Существуют различные методы решения дробных рациональных уравнений. Один из них состоит в приведении такого уравнения к виду , затем используется условие дроби равенства нулю, позволяющее получить равносильную данному уравнению систему Учителя, работающие в школе, когда в учебнике приводилось такое решение, до сих пор предпочитаю пользоваться таким методом. Авторы современных учебников предлагают решать дробно – рациональные уравнения методом приведения к целому виду. Однако, ввиду того, что теория равносильности в школе не рассматривается, такой метод нельзя считать теоретически обоснованным.

На примере решения уравнения формулируется алгоритм:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Для обоснования приведённого алгоритма, используется свойство об умножении обеих частей уравнения на число, отличное от нуля. С оговоркой «мы умножали обе части не на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в нуль. Поэтому не каждый корень полученного целого уравнения обязательно окажется корнем данного уравнения». Приведённые рассуждения и делают необходимым пункт 4 приведённого алгоритма.

Методические аспекты изучения уравнений других видов будут рассмотрены в дальнейшем, при обсуждении методики изучения тригонометрии, показательной, логарифмической функции. Математические аспекты линии уравнений и неравенств достаточно полно представлены в курсах «Введение в математику» (6 семестр) и «Элементарная математика» (8 семестр).