УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В КУРЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Понятие уравнения в математике
Уравнение относится к числу ведущих алгебраических понятий. В математике оно рассматривается в трёх аспектах:
· как особого рода формула, являющаяся в алгебре объектом изучения;
· как средство решения текстовой задачи;
· как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
Определение понятия уравнения в математике основано на понятии «предикат» или «предложение с переменной».
Приведём пример такого предложения: «п – есть простое число». Подставляя вместо переменной п натуральные числа, будем получать высказывания – предложения без переменной, содержащие утверждения и обладающие определёнными истинностными значениями. Так, при п = 5 получим истинное высказывание «5 – простое число», а при п = 12 - ложное высказывание «12 – простое число». Уравнение – это тоже предложение с переменной (или с несколькими переменными), которое при одних значениях переменной, принадлежащих некоторому числовому множеству D, обращается в истинное высказывание (числовое равенство), а при других – в ложное.
Определение. Уравнением называется предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной.
По аналогии с уравнением можно определить и неравенство как предложение с переменной, имеющее вид неравенства между двумя выражениями с этой переменной.
Отметим, что теория решения уравнений, неравенств и их систем, а также методы решения уравнений и неравенств отдельных видов рассмотрены в курсе НПОПМ.
Понятие уравнения в школе
Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятиями уравнения и неравенства, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно – методическую линию уравнений и неравенств.
Учитывая приведённые выше аспекты функционирования понятия уравнения в математике, целесообразно выделить три основных направления развёртывания линии уравнений и неравенств школьного курса алгебры.
1. Теоретико – математическое, которое раскрывается в двух аспектах:
· выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, неравенств, систем;
· изучение обобщённых понятий, относящихся ко всей линии в целом, что позволяет сформировать обобщённый аппарат теории (выделить общие понятия линии: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следствие, система и совокупность уравнений (неравенств); общие и частные методы решения).
2. Прикладное, связанное с решением текстовых задач, как одним из видов математического моделирования.
3. Систематизирующее, то есть устанавливающее взаимосвязи с другими содержательно-методическими линиями: числовых систем, тождественных преобразований, функциональной и другими.
В связи с выше сказанным, определим цели изучения линии уравнений и неравенств в школе:
· формирование теоретических знаний;
· формирование умений решать уравнения и неравенства определённых видов, их систем и совокупностей;
· обучение решению текстовых задач для формирования представлений об уравнении (неравенстве) как средстве математического моделирования;
· установление взаимосвязей линии уравнений и неравенств с другими содержательно-методическими линиями школьного курса математики в процессе решения целесообразно подобранных задач.
Содержание учебного материала
Классы.
Смотри практические занятия.
Уравнения
Класс.
Формируются понятия уравнения с одной переменной, решения или корня уравнения, выясняется, что значит решить уравнение. Вводится понятие равносильных уравнений. Рассматриваются свойства:
· если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
· если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Отмечается, что указанные свойства уравнений можно доказать, опираясь на соответствующие свойства числовых равенств.
Изучаются линейные уравнения с одной переменной, уравнения, решаемые на основании условия равенства произведения нулю, линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Решаются текстовые задачи на составление уравнений и их систем.
Класс.
Квадратные уравнения и дробные рациональные уравнения, сводимые к линейным и квадратным уравнениям. Для тех, кто хочет знать больше, уравнения с параметром.
Класс.
Элементы теории решения целых уравнений и методы их решения:
разложение на множители и замены. Для тех, кто хочет знать больше, приводится теорема о корне многочлена и теорема о целых корнях целого уравнения, которые позволяют расширить приёмы решения целых уравнений. Рассматриваются возвратные уравнения для частного случая симметрических уравнений (возвратным называется уравнение вида 
Изучаются дробно-рациональные уравнения и методы их решения: приведение к целому виду, сведение к пропорции, замены. Уравнение с двумя переменными и системы уравнений второй степени с двумя переменными. Задачи, решаемые с помощью систем уравнений второй степени. Для тех, кто хочет знать больше, приёмы решения однородных, симметрических систем уравнений второй степени. Метод сведения системы к совокупности систем.
Класс.
Простейшие тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений: введение вспомогательного угла, замены, разложение на множители.
Класс.
Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения.
Неравенства
Класс.
Числовые неравенства и их свойства. Неравенства с одной переменной.
Вводится определение решения неравенства, выясняется смысл слов «решить неравенство», формируется понятие равносильных неравенств и рассматриваются следующие свойства:
· если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;
· если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;
· если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.
Изучаются линейные неравенства и их системы. При этом вводятся понятия системы неравенств, даётся определение решения системы неравенств с одной переменной. Для тех, кто хочет знать больше, приводятся примеры доказательства неравенств.
Класс.
Решение неравенства второй степени с одной переменной графически и методом интервалов.
Неравенства с двумя переменными и их системы.
Класс.
Простейшие тригонометрические неравенства. Решение целых и дробных рациональных неравенств методом интервалов.
Класс.
Показательные и логарифмические неравенства.
Методические аспекты формирования понятия уравнения
Уравнения рассматриваются в начальной школе, в 5,6 классах. В 7 классе понятие уравнения формируется посредством задачи: «На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке»?
Было книг Стало книг
Нижняя полка 4 х 4 х - 15
Верхняя полка х х+ 15
Так как книг стало поровну соединим полученные выражения знаком равенства: 4 х – 15 = х+ 15.
Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство. Такие равенства называются уравнениями с одной переменной или с одним неизвестным.
Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение 4 х – 15 = х+ 15 получается верное равенство. Такое число называется решением или корнем уравнения. Вводится определение корня или решения уравнения.
Уравнения такого вида учащиеся решали в 6 классе. Они получат х =10.
Далее на примерах уравнений 
школьники убеждаются, что уравнение может иметь два корня или не иметь корней. Выясняем, что значит решить уравнение. Решить уравнение - это значит найти все корни уравнения или доказать, что их нет. Поэтому, решая уравнение 
ответ лучше записать в виде «Ответ: 4; 5; 6», а не в виде «Ответ: х =4, х =5, х =6».
На примере уравнений 
убеждаем, что существуют уравнения с одинаковыми корнями. Вводим определение: «Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными». Далее приводятся два свойства (смотри содержание учебного материала), суть которых состоит в описании преобразований, не нарушающих равносильности уравнений.
К сожалению, в дальнейшем теория равносильных уравнений в общеобразовательных классах основной и даже полной школы не развивается. Основное внимание уделяется методам решения уравнений отдельных видов, которые не получают должного теоретического обоснования.
