Методические аспекты обучения решению задач с помощью рациональных уравнений

Такого рода задачи можно условно разделить на следующие основные виды: задачи на движение, в том числе, по течению и против течения, на совместную работу, на проценты, на сплавы и смеси.

При обучении решению текстовых задач учащимся может быть предложена следующая схема рассуждений.

1. Выделить в условии задачи ту часть, на основании которой может быть составлено равенство.

2. Ввести переменную величину.

3. Выразить величины, участвующие в равенстве, через переменную.

4. Составить и решить уравнение.

5. Интерпретировать полученные результаты в терминах условия (текста) задачи.

6. Ответ.

Рассмотрим реализацию предложенной схемы на примере задачи: «Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 часа. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найти расстояние между городами». [2, № 710].

 

 

1. «...на обратный путь затратил на 30 мин больше».

2. Ведём переменную величину. Пусть расстояние между городами S км.

3. Выразим время, затраченное на дорогу обратно.

км/ч – скорость движения мотоциклиста, с которой он ехал первые 100 км, следовательно, время движения составило 100: =

( -10) км/ч – скорость, с которой мотоциклист проехал (s – 100) км, затратив (s – 100): ( -10)= ч. Всё время движения обратно составит + , что на 0,5 ч больше 4 (времени движения «туда»).

4. Составим и решим уравнение + =4,5, которое сведётся к уравнению , имеющему корни s=160 или s=200.

5. Расстояние между городами может составлять 160 км или 200 км.

6. Ответ: 160 км, 200 км.

Приведём возможные записи решения текстовой задачи.

1. В виде развёрнутых рассуждений. Так задача оформляется в экзаменационных работах, в объяснительном тексте учебника [2, с. 137,138].

2. Решение задач на движение иногда удобно оформить в виде таблицы. Приведём пример такой задачи.

Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения,

затратив на весь путь 2ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч. [2, c.137, задача1].

Пусть скорость лодки в стоячей воде х км/ч.

	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
По течению		х +3
Против течения		х- 3

 

Уравнение. + =2.

Наличие колонок, соответствующих трём величинам расстоянию, скорости и времени, участвующим в задачах на движение, способствует более чёткому пониманию сути таких задач. Такие же таблицы могут быть использованы при решении задач на совместную работу, в которых задействованы объём работы, время её выполнения и производительность (скорость работы). При этом, если объём работы по условию задачи не задан, то он принимается за 1.

3. Иногда, если время, отведённое на решение задачи ограничено, можно записывать выражения для задействованных величин и краткие пояснения к ним.

Решение приведённой выше задачи будет выглядеть так:

х км/ч - скорость лодки в стоячей воде;

(х +3) км/ч – скорость лодки по течению;

ч – время движения лодки по течению;

(х -3) км/ч – скорость лодки против течения;

ч – время движения лодки против течения.

Уравнение. + =2.