Формирование комбинаторного мышления

Комбинаторные способы рассуждения играют важную роль в общей структуре научного мышления. Однако принципиальное значение комбинаторики выходит далеко за пределы собственно математического знания и связано с полноценной ориентировкой в поле возможностей, какой бы предметной области она ни касалась. На основе комбинаторного анализа человек обретает способность устанавливать, рассматривать и учитывать все возможные варианты сочетания каких-либо признаков или событий (а не только часть из них или некоторые, отдельные).

В самом общем виде комбинаторика – это «система способов и приемов поиска и нахождения разнообразных соединений (перестановок, сочетаний и размещений) данных или заданных частей и элементов в порядке и отношениях, определенных целью и условиями какой-то задачи» (Математическая энциклопедия, 1979, т. 2, с. 974).

Комбинаторика позволяет решать задачи, направленные на поиск конфигурации элементов, обладающей заранее заданными свойствами, или общее число конфигураций, отвечающих заданным требованиям (Виленкин, 2007). Такого рода задачи нередко возникают в самых разных областях науки и практики - идет ли речь о генетически обусловленных свойствах живых существ, химических элементах в молекулярном составе вещества или последовательности цифр в шифре для кодового замка. По этой причине, оставаясь прежде всего неотъемлемой частью аппарата теории вероятностей, комбинаторика получила в настоящее время широкую сферу практического приложения и, по сути, приобрела самостоятельное значение.

Не удивительно поэтому, что в современных условиях требования общества к уровню комбинаторно-вероятностного мышления учащихся существенно повышаются. Теория вероятностей и математическая статистика становится сегодня базовым предметом при подготовке специалистов любого профиля. Очевидным признанием этого обстоятельства стало постановление Министерства образования Российской Федерации (от 23.09.2003) о планировании обязательного введения в программу общеобразовательной школы по математике раздела «Комбинаторика, статистика и теория вероятностей». Входят «элементы комбинаторики» и в фундаментальное ядро содержания общего образования разрабатываемого проекта нового государственного образовательного стандарта. Таким образом, вопрос о том, изучать основы комбинаторного анализа в школе или не изучать, сегодня уже не стоит, – на смену ему приходят вопросы о том, как строить соответствующее обучение и когда его начинать, - в средней или/и начальной школе и т.д. Все это резко усиливается актуальность эффективного методического обеспечения данного раздела школьного курса математики.

Между тем как содержание (конкретный состав и объем знаний), так и методики изучения комбинаторики относятся к числу остро дискуссионных проблем. Об этом свидетельствует вся история преподавания комбинаторики в школе, которая складывалась крайне сложно и противоречиво. Известно, что попытки включения данного раздела в программу школьного курса математики в нашей стране предпринимались неоднократно (например, в конце XIX века, а также в 1925, 1947 и 1965 годах), но не вели к успеху, так что очень скоро комбинаторика вновь изымалась из обязательной программы. По мнению многих учителей, материал раздела о комбинаторике для детей слишком сложен, формален и усваивается исключительно плохо. До сих пор комбинаторные задачи относят к задачам повышенной сложности и используют главным образом в классах с углубленным обучением математике, математических кружках, а также на факультативах и олимпиадах.

Психологический анализ показывает, что глубинной причиной почти непреодолимых трудностей в преподавании комбинаторики в школе является интеллектуальная неготовность большинства учащихся к усвоению комбинаторно-вероятностных понятий в той форме, в которой они предлагались согласно традиционно принятым методикам. Можно сказать, что здесь обучение сталкивается с фундаментальным противоречием: если в начальной школевводить комбинаторно-вероятностные понятия еще рано, так как большинству младших школьников недостает необходимой «логической базы», а также соответствующего математического аппарата (дроби), то в старших классах вводить их уже поздно, поскольку к почти столь же слабой логической готовности добавляется обязательная для преподавания математики в этом возрасте формализация знаний – опора на предъявление и освоение материала сразу в виде сжатых математических формул.

Объективный характер трудностей преподавания комбинаторики в средней школе становится более понятным в свете тех психологических исследований, где предметом изучения стали закономерности и этапы развития логических структур в онтогенезе. Так, в работах классиков детской психологии Ж. Пиаже и Б. Инельдер было показано, что способность комбинировать факторы и анализировать результаты их взаимодействия в ходе стихийного (т.е. вне рамок целенаправленного обучения) процесса развития у детей возникает, но достаточно поздно – лишь в подростковом возрасте, что соответствует примерному возрасту 13-15 лет (а часто и позднее). Только у подростков можно достаточно уверенно констатировать наличие логических структур, лежащих в основе осмысленного комбинаторного анализа. Об этом можно судить по появлению у них способности к систематизации и организации анализируемого материала, выделению в нем существенных признаков (действующих переменных), комбинированию их между собой разными способами и последовательному рассмотрению совокупности всех различных комбинаций, например, с целью выбора наиболее подходящей.

Но при этом самостоятельно приобретаемые («вырабатываемые») подростками комбинаторно-вероятностные представления, как правило, еще далеко не совершенны – они не обладают нужной степенью четкости и слабо осознаются. Успешность применения комбинаторных структур сильно зависит от сложности (и степени знакомства) материала, к которому они применяются, что свидетельствует об их недостаточной обобщенности. Однако главная проблема связана с тем, что у значительной части подростков (от 25% до 60% по данным исследований на разных выборках) достижение логических структур комбинаторики значительно растягивается по времени. В итоге у одной части учащихся оно приходится уже фактически на юношеский возраст (период обучения в вузе), тогда как другая часть подростков, как это ни печально признавать, логических структур данного уровня так и не достигает (Пиаже, 2001). В свете этих данных школьные трудности изучения комбинаторных понятий представляются вполне закономерными.

Таким образом, хотя сам факт появления у подростков элементарных комбинаторных структур следует расценивать как существенный шаг в развитии их логического мышления, однако его не стоит переоценивать. Вне специально организованного обучения они не достигают необходимого качества понятий математической комбинаторики, так как все недостатки и ограничения, свойственные житейским представлениям (недостаточная обобщенность, осознанность и системность) у них сохраняются.

В то же время описанная картина стихийного способа освоения комбинаторики может существенно изменяться в условиях специальным образом организованного обучения. Однако для этого обучение должно отойти от сложившихся канонов: оно должно строиться не только на основе логики предметного (в данном случае - математического) содержания преподаваемых понятий, но и на основе реального учета психологических условий их усвоения учащимися.