Общий прием доказательства

В последние годы обращается особое внимание на необходимость более широко использовать в обучении доказательное изложение учебного материала учителем и самостоятельные поиски доказательств самими учащимися с целью совершенствования их мыслительной деятельности. О реальных мыслительных действиях человека можно судить по логической структуре его рассуждений, по качеству выполнения логических операций, необходимых при аргументации, по способности доказывать истинность суждений в различных условиях учебной и внеучебной деятельности.

Обоснование суждений невозможно без проникновения в существо реальных явлений, без понимания в них наиболее важного, без рассмотрения их во взаимосвязи и развитии. Обучение учащихся приемам мышления тесно связано с задачей научить их определять, сопоставлять, классифицировать, устанавливать причинно-следственные связи и т.д. Именно доказательность, полноценная аргументация и решение задач на доказательство оказывают значительное влияние на воспитание логического мышления, на действенное развитие.

Доказательства могут выступать в процессе обучения в разнообразных функциях: как средство развития логического мышления учащихся; как прием активизации мыслительной деятельности учащихся; как особый способ организации усвоения знаний; иногда как единственно возможная форма адекватной передачи определенного содержания, обеспечивающая последовательность и непротиворечивость выводов; как средство формирования и проявления поисковых, творческих умений и навыков учащихся.

Понятие доказательства и его структурные элементы рассматривают с двух точек зрения: как результат и как процесс. Обучение доказательству в школе предполагает формирование умений по решению следующих задач:

- анализ и воспроизведение готовых доказательств,

- опровержение предложенных доказательств,

- самостоятельный поиск, конструирование и осуществление доказательства.

Необходимость использования учащимися доказательства возникает в ситуациях, когда:

- учитель сам формулирует то или иное положение и предлагает учащимся доказать его,

- учитель ставит проблему, в ходе решения которой у учеников возникает потребность доказать правильность (истинность) выбранного пути решения.

В этих случаях для выполнения предлагаемых заданий ученик должен владеть деятельностью доказательства как одним из универсальных логических приемов мышления.

Доказательство в широком смысле – это процедура, с помощью которой устанавливается истинность какого-либо суждения. Суть доказательства состоит в соотнесении суждения, истинность которого доказывается, либо с реальным положением вещей в действительности, либо с другими суждениями, истинность которых несомненна или уже доказана.

Любое доказательство включает:

- тезис – суждение (утверждение), истинность которого доказывается,

- аргументы (основания, доводы) – используемые в доказательстве уже известные удостоверенные факты, определения исходных понятий, аксиомы, утверждения, из которых необходимо следует истинность доказываемого тезиса,

- демонстрация – последовательность умозаключений – рассуждений, в ходе которых из одного или нескольких аргументов (оснований) выводится новое суждение, логически вытекающее из аргументов и называемое заключением; это и есть доказываемый тезис.

При доказательстве тезис должен удовлетворять следующим требованиям:

- быть ясным и точно определенным,

- оставаться одним и тем же на протяжении всего доказательства,

- не должен содержать в себе логического противоречия,

- не должен находиться в логическом противоречии с суждениями по доказываемому утверждению.

Требования к аргументам доказательства:

- быть истинными предложениями данной теории (например, математической теории),

- быть достаточным основанием для доказываемого предложения,

- быт предложением, истинность которого доказана самостоятельно, независимо от доказываемого предложения,

- из совокупности суждений, составляющих аргументы, с необходимостью должна следовать истинность тезисов.

В демонстрации отражается характер логических связей между тезисом и аргументами [2].

Виды доказательств выделяются в зависимости от целей доказательства, способа доказательства и роли опытных данных в составе оснований.

Если доказывается истинность тезиса – это называется просто доказательством; если доказывается ложность тезиса – это называется опровержением.

Доказательства бывают прямые, в которых анализируется сам доказываемый тезис и устанавливается истинность тезиса из необходимости его следования из истинных оснований; косвенные, в которых анализируется не тезис, а другие суждения, из логичности которых следует истинность тезиса.

Косвенное доказательство делится на два вида: доказательство «от противного» и разделенное доказательство (метод исключения). Косвенное доказательство «от противного» осуществляется путем опровержения противоречащего тезису суждения (антитезиса). Опровержение антитезиса при этом достигается установлением его несовместимости с каким-либо заведомо истинным суждением.

При использовании разделенного доказательства необходимо проанализировать все суждения, их отношения и на этом основании судить об истинности или ложности тезиса.

По роли опытных данных доказательства подразделяются на аналитические или математические (доказательства, в которых не требуется прямое использование опытных данных) и эмпирические (доказательства, в которых опытные данные используются прямо).

В связи с тем, что обучение учащихся доказательству, обоснованию своих суждений возможно лишь на основе конкретного содержания того или иного предмета, акцент будет сделан при использовании этого приема в математике, в частности в геометрии. Так, при изучении геометрии очень важно научить учащихся осуществлять доказательство теорем и решать задачи на доказательства, поскольку геометрия представляет собой строго логическую систему, которая, по словам Д. Пойя, «цементирована доказательствами».

В математике доказательство может быть проведено на двух уровнях: содержательном и формальном. Под содержательным математическим доказательством понимается рассуждение относительно математических объектов (чисел, фигур, операций и т.п.), которое опирается на очевидные или данные в определении свойства этих объектов и протекает в обычной логике научного рассуждения. На доказательство в этом смысле не налагается никаких требований, кроме того, что оно должно быть достаточно убедительным.

Содержательное доказательство обеспечивается, исходя из необходимых свойств объектов, очевидных возможностей его преобразования, перестройки и т.п., из бесспорной правильности известных арифметических и алгебраических операций и т.д.

Формальным называется доказательство, построенное с помощью символов и операций математической логики. Формальное доказательство представляет собой некоторого рода процедуру со знаками и их комбинациями, призванную выявить все компоненты доказательства, уяснить логический характер и истоки каждой из его посылок, сделать явной логику доказательства, все допустимые ходы математического рассуждения. Главной особенностью такого доказательства является полное отвлечение от смысла объектов рассуждения, они даны только в виде формул, к которым применимы те или иные логические правила перестройки, объединения и т.д.

Формальное доказательство выступает в качестве критерия правильности (строгости, корректности) содержательного доказательства.

Материал курса математики в средней школе предусматривает в основном выполнение содержательного по характеру доказательства.

Школьная практика показывает, что в работе учителей преобладает тенденция учить ученика конкретному доказательству тех или иных теорем, но недостаточно ведется работа по вооружению школьников умениями вообще доказывать. Многие школьники, вместо обобщенных умений, нередко овладевают лишь частными умениями, относящимися к доказательству конкретных теорем.

Широко известны факты, когда учащиеся правильно воспроизводят доказательство теоремы лишь при использовании того чертежа, который дан в учебнике. Изменение положения чертежа на плоскости или даже использование других буквенных обозначений вызывает у учащихся значительные затруднения.

Доминирование в сознании и памяти учащихся «привычного внешнего выражения математического факта над содержанием этого факта» приводит к формализму математических знаний. Вместо усвоения умения осуществлять геометрическое доказательство происходит нередко лишь простое механическое запоминание готовых доказательств, «разучивание теоремы».

При доказательстве каждой из теорем на первый план для ученика выступает специфическое содержание теоремы, а не сам прием доказательства. Поэтому у учеников создается впечатление о полной независимости способов доказательства теорем друг от друга, их большом количестве: сколько теорем столько и способов доказательства. Связь между теоремами при этом не всегда осознается; представление о том, что совокупность теорем образует собой некоторую систему, которая служит для изучения часто встречающихся математических объектов, обычно не формируется у учащихся.

Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств. В таком понимании – это педагогическая задача первостепенного общеобразовательного и воспитательного значения, выходящего за рамки математического образования. Учить доказывать означает прежде всего учить рассуждать, а это – одна из основных задач обучения вообще.

Проблеме доказательства теорем посвящено большое количество психологических, педагогических и методических исследований. В ряде работ выделяются условия, способствующие овладению этим приемом. К числу этих условий относятся воспитание у учащихся потребности в логическом доказательстве путем становления привычки обосновывать свои суждения (В.М. Брадис, В.А. Далингер, И.А. Гибш, Я.И. Груденов, А.Д. Семушин, А.А. Столяр, А.И. Фетисов и др.), а также формирования у обучаемых убежденности в необходимости доказательства (А.И. Власенко, Ф.Ф. Притуло, В.В. Репьев, Н.М. Рогановский, Э.П. Чиркина и др.).

По мнению ряда методистов и психологов важным условием выполнения доказательства теорем является владение системой предварительный знаний и умений (А.А. Глаголев, Я.С. Дубнов, В.И. Зыкова, Е.Н. Кабанова-Меллер и др.), варьирование чертежа по форме и положению (Г.А. Владимирский, Б.Б. Журавлев, И.С. Якиманская и др.).

Отмечая неумение учащихся самостоятельно доказывать теоремы, многие авторы считают это следствием непонимания логического смысла доказательства и рекомендуют обучать учащихся приему доказательства через формирование умения анализировать готовые формулировки теорем и их доказательства (В.Ф. Асмус, В.Г. Болтянский, К.С. Богушевский, Ф.Н. Гоноболин, И.С. Градштейн, Н.З. Гречкин, А.А. Ефимчик, С.А. Кузьмина, А.И. Мостовой, И.Л. Никольская, М.М. Тоненкова, Л.М. Фридман, Г.И. Харичева, Р.Г. Чуракова и др.).

Большого внимания заслуживает высказанная рядом авторов идея о регулировании мыслительной деятельности в процессе доказательства посредством системы правил, указаний, советов и т.д. (Ж. Адамар, Н.Н. Иовлев, Д. Пайа, А. Сомцов, Л.Н. Ланда и др.).

В частности, по мнению Ж. Адамара при доказательстве теорем следует руководствоваться следующими рекомендациями: выделять условие и заключение теоремы; полностью использовать условие теоремы; заменить определенные понятия их определениями и т.д.

В названных работах выделяются важные аспекты, черты, стороны доказательства, некоторые из умений, входящих в содержание этого логического приема мышления.

Особое место занимают исследования, в которых сделана попытка выделения полного содержания приема доказательства и условий его полноценного усвоения (Г.А. Буткин, М.Б. Волович, Н.А. Добровольская, И.П. Калошина, Н.В. Миничкина, Н.Ф. Талызина и др.).

Содержание приема доказательства

Анализ теории и практики геометрического доказательства показал, что существует довольно значительное число теорем (задач), доказательство которых сводится к обоснованию наличия в условиях теорем признаков (свойств) понятий, содержащихся в заключении. Доказать такого рода теорему – это значит проверить, обладают ли геометрические объекты, заданные в условии, всеми необходимыми и достаточными признаками понятий, указанных в заключении, т.е. доказательство теоремы требует выполнения подведения заданных геометрических объектов под определенное понятие. Таким образом, действие подведение под понятие выступает в качестве одного из необходимых компонентов приема доказательства. Характер выполнения действия подведения под понятие зависит от ряда условий, в том числе от наличия системы необходимых и достаточных признаков понятия и от логической структуры признаков (конъюнкция, дизъюнкция, их сочетание).

Однако геометрические понятия могут иметь не одну, а несколько эквивалентных систем необходимых и достаточных признаков. Действие подведения при наличии нескольких эквивалентных систем искомого понятия (или при дизъюнктивной связи между признаками внутри одной системы) предваряется действием выбора одной из них. Действие выбора обеспечивает подведение именно под те признаки понятия, которые можно обнаружить при анализе условия теоремы. Таким образом, действие выбора соответствующей системы признаков понятия – еще один компонент приема доказательства.

В условии теоремы признаки искомых геометрических понятий содержатся, как правило, в опосредованном виде, т.е. заданы через систему других понятий. Причем степень опосредованности этих признаков может быть разной, что и является одним из показателей сложности теоремы. Следовательно, даже хорошо владея действием подведения под понятие и зная необходимые и достаточные признаки искомого понятия, ученик может не знать, как их найти – как за системой одних понятий обнаружить систему других.

Выполнение геометрического доказательства предполагает владение умением «развертывать» условие, т.е. выводить из него все необходимые следствия с целью обнаружения признаков понятия, указанного в заключении. Значение действия «развертывания» (выведение следствий) однако не ограничивается только этим. Наряду с выявлением признаков, являющихся содержанием отдельных понятий, его продуктом является также раскрытие многообразных связей и отношений между понятиями, которые содержатся в условии теоремы в «скрытой» форме, и теми, которые заданы «явно». В результате выявления этих связей и отношений устраняется изолированность понятий друг от друга и раскрывается их системный характер. Последнее составляет, как известно, необходимое условие оперирование понятиями, а, следовательно, осуществление геометрического доказательства.

Путем последовательного выведения всех возможных следствий из условия можно, в принципе, доказать теорему. Однако такой путь является очень громоздким и нерациональным. Более того, строгое его проведение возможно скорее теоретически, чем практически, так как следствий из условия можно вывести очень много.

Осуществление геометрического доказательства предполагает, таким образом, овладение не только умением выводить следствия, но и вести поиск в определенном направлении, которое определяется спецификой содержания заключения теоремы.

Такое избирательное выведение следствий из условия предусматривает умение использовать в ходе «развертывания» не все данные условия, а только некоторую их часть, т.е. выделять в условиях соответствующие «поисковые области».

Итак, прием доказательства включает следующие компоненты:

1) действие подведения под понятие,

2) действие выбора системы необходимых и достаточных признаков понятия, соответствующей конкретным условиям теоремы или задачи на доказательство,

3) действие «развертывания» условий (действие выведения следствий) с целью выявления признаков понятий, указанных в заключении,

4) действие выделения в условии «поисковых областей».

Каждое из этих действий имеет свою функцию и находится в определенном отношении к другим компонентам.

Ведущим в этой системе является действие подведения под понятие. Остальные три действия выступают как необходимые условия реализации этого действия. В самом деле, действие выбора необходимо для определения той системы признаков, которая будет устанавливаться у объектов. Действие по определению областей поиска позволяет выделить ту часть условий, где целесообразно искать нужные признаки. Действие выведения следствий приводит к выявлению признаков, оценка которых с помощью действия подведения под понятие приводит к заключению о принадлежности (или непринадлежности) заданного объекта к понятию, указанному в заключении.

Рассмотрим содержание каждого из действий, входящих в прием доказательства. Содержанием действия подведения под понятие является установление наличия у данного объекта всей системы необходимых и достаточных признаков данного понятия.

Система объективных условий, обеспечивающих выполнение действия подведения под понятие, включает в себя специфическую и логическую части, а также предписание по реализации этого действия. Специфическая часть действия – это система необходимых и достаточных признаков данного понятия и логическая связь между ними (конъюнкция, дизъюнкция или их сочетание). Логическая часть – это логическое правило по установлению наличия (отсутствия, неизвестности) каждого признака из системы необходимых и достаточных и оценка полученных результатов. При конъюнктивной структуре признаков понятия необходимо руководствоваться следующим правилом:

- объект относится к данному понятию в том или только в том случае, когда он обладает всей системой необходимых и достаточных признаков;

- если объект не обладает хоть одним из признаков, то он не относится к данному понятию;

- если хоть про один признак ничего не известно, то при наличии всех остальных признаков не известно, принадлежит или не принадлежит объект к данному понятию.

Схематически это правило выглядит так:

Признак	Обладание признаком	Отношение объекта к понятию	Признак	Обладание признаком	Отношение объекта к понятию	Признак	Обладание признаком	Отношение объекта к понятию
1. и 2. . . . и n.	+   +     +	+	1. и 2. . . . и n.	+ (?)   -     +(?)	-	1. и 2. . . . и n.	+   ?     +	?

 

где «+» - наличие признака, «-» - отсутствие признака, «?» - неизвестность.

Для понятий с дизъюнктивной структурой признаков правило имеет такой вид:

- объект относится к данному понятию, если он обладает хотя бы одним признаком из числа альтернативных;

- если ни про один из признаков неизвестно, есть он или его нет, то не известно, относится или не относится этот объект к данному понятию,

- если про один из признаков известно, что он отсутствует, а про другие признаки нет точных сведений (не известно, есть они или нет), то нельзя установить, относится или не относится объект к данному понятию.

Это логическое правило можно изобразить в следующем виде:

Признак	Обладание признаком	Отношение объекта к понятию	Признак	Обладание признаком	Отношение объекта к понятию	Признак	Обладание признаком	Отношение объекта к понятию
1. или 2. . . . или n.	-(?)   +     -(?)	+	1. или 2. . . . или n.	-   -     -	-	1. или 2. . . . или n.	?(-)   ?     -(?)	?

 

Содержание предписания по выполнению действия подведения под понятия также зависит от логической структуры признаков данного понятия. При конъюнктивной структуре признаков для подведения объекта под понятие необходимо:

1) установить наличие (отсутствие или неизвестность) первого признака:

- если первый признак отсутствует, то объект не принадлежит к данному понятию;

- ели первый признак имеется у данного объекта (или про него нет точных сведений – не известно, есть он или нет), то:

2) установить наличие (отсутствие или неизвестность) второго признака и т.д.;

3) сравнить полученный результат с логическим правилом;

4) сделать вывод о принадлежности данного объекта данному понятию.

Дизъюнктивная структура признаков понятия требует следующей последовательности операций:

1) установить наличие (отсутствие, неизвестность) первого признака:

- если первый признак присутствует, то объект принадлежит данному понятию;

- если первый признак отсутствует (или про него неизвестно), то:

2) установить наличие (отсутствие или неизвестность) второго признака и т.д.;

3) сравнить полученный результат с логическим правилом;

4) сделать вывод о принадлежности данного объекта данному понятию.

Как видим, содержание действия подведения под понятие требует специального анализа, предполагает целую систему предварительных знаний и умений.

Действие развертывания (выведение следствий) является обратным по отношению к действию подведения под понятие. При подведении объекта под понятие задача заключается в том, чтобы установить, относится ли данный объект к указанному понятию. Для этого, как было указано выше, мы проверяем у объекта наличие определенной системы признаков и на их основе делаем заключение о принадлежности (или не принадлежности, или неизвестности) объекта к данному понятию.

При выведении следствий наоборот с самого начала известно, что объект принадлежит данному понятию. Задача заключается в указании тех признаков объекта, которыми он должен обязательно обладать, т.е. таких, которые являются следствием принадлежности его к данному классу объектов (к данному понятию), а также дополнительных свойств объекта. Это логическое действие является таким же общим, как и действие подведения под понятие.

Логическое правило, в соответствии с которым выполняется действие выведения следствий, графически может быть представлено в следующем виде.

а₁

А₊ а₂

…

а_n

где А₊ означает, что объект принадлежит к понятию А; а₁, а₂, …, а_n – совокупность следствий принадлежности к понятию А; объект, который принадлежит к понятию А, обязательно обладает каждым из свойств а₁, а₂, …, а_n.

Количество признаков, свойств, которые могут быть выведены, зависит от содержания самого понятия и от того, насколько продвинулись учащиеся в его изучении. В систему следствий, полученных в результате развертывания условий, входят как признаки данного понятия, так и дополнительные свойства этого понятия.

При доказательстве теорем действие развертывания должно быть реализовано по отношению ко всем понятиям, содержащимся как в условии, так и требовании теоремы. Например, чтобы доказать, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, надо выяснить, «скрываются» или нет за понятиями «смежные углы», «биссектриса» признаки перпендикулярных прямых (две прямые; при пересечении образуют прямой угол). А для этого надо «развернуть» эти понятия, т.е. из понятий «биссектриса» и «смежные углы» вывести все необходимые следствия.

Действие выделения в условии теоремы «поисковых областей»

Под «поисковой областью» понимается типичная геометрическая ситуация, развертывание которой обязательно приведет к выявлению признаков доказываемого понятия, это та ситуация, где эти признаки заданы в «скрытом» виде.

В отличие от выведения следствий, когда учащиеся осуществляют последовательное развертывание условий для обнаружения искомых признаков понятия, выделение «поисковых областей» предполагает дифференцированное развертывание условий, т.е. осуществление поиска признака избирательно. Очевидно, что выполнение такого рода поиска возможно лишь в том случае, если учащийся будет всякий раз руководствоваться определенным представлением о том, где искать, т.е. за признаками каких понятий (или группы понятий) может быть «скрыта» необходимая информация. Так, например, для понятия «перпендикулярные прямые» в качестве «поисковых областей» могут выступать такие понятия как «прямой угол», «равные смежные углы», «биссектриса развернутого угла», «медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике», «пересекающиеся диагонали ромба» и т.д. каждое из перечисленных понятий содержит в себе наряду с другими признаки понятия «перпендикулярные прямые».