Краткие сведения для решения задач. Движение точки может быть задано зависимостями ее координат ( от времени ( ), т.е

Движение точки может быть задано зависимостями ее координат ( от времени (), т.е. , , или же если траектория точки известна, зависимостью, зависимостью дуговой координаты () от времени, т.е. (см. рисунок 22).

В первом случае скорость () и ускорение () точки определяются через свои проекции на оси декартовой системы координат:

для скорости – проекция скорости на ось равна производной по времени от соответствующей координаты, выраженной зависимостью (функцией) от времени (). Проекции скорости точки на оси , , соответственно, находятся по формулам:

; ; ;

для ускорения – проекция ускорения на ось равна производной по времени от соответствующей проекции скорости. Проекции ускорения точки на оси , , соответственно, находят по формулам:

; ; .

Модули скорости и ускорения точки находятся так:

.

В том случае, если траектория точки и ее дуговая координата заданы, скорость точки направляется по касательной к траектории в сторону увеличения координаты и находится производной по времени от дуговой координаты, выраженной функцией от времени .

Ускорение точки находится через две составляющие и , т.е. и .

 

Составляющая называется нормальным ускорением, направляется по нормали к траектории точки (перпендикулярно касательной) и равна:

где - радиус траектории в данной точке.

Составляющая называется касательным ускорением, направляется по касательной к траектории (т.е. перпендикулярно ) и равна второй производной по времени от дуговой координаты:

Модуль может быть найден и через проекции на координатные оси , , скорости и ускорения точки т.е.

При сложном движении точки (т.М), ее скорость (абсолютная скорость ) определяется по формуле:

(17)

где: - переносная скорость точки, или скорость точки тела, с которой, двигаясь по этому телу со скоростью , совпала рассматриваемая точка (т.М); - относительная скорость точки М (см. рисунок 23).

 

Ускорение точки при сложном движении точки (абсолютное ускорение ) определяется геометрической суммой трех ускорений :

 

, (18)

где – переносное ускорение точки, или ускорение точки тела, с которой, двигаясь по этому телу с ускорением , совпала рассматриваемая точка М; – относительное ускорение точки М; - кориолисово ускорение т. М, оно равно

и направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы угловой скорости переносного движения (направлен по оси вращения тела) и относительной скорости точки.

Численные значения абсолютных скорости и ускорения точки определяются из скалярных уравнений, которые получаем, спроектировав векторные уравнения (17) и (18) на оси координат , .

Вращательное движение тела задается зависимостью угла поворота тела от времени:

и характеризуется угловыми скоростью и ускорением .

Угловая скорость тела определяется первой производной по времени от угла поворота:

Угловое ускорение тела равно первой производной по времени от угловой скорости, выраженной зависимостью от времени:

При равномерном ( вращении тела угол поворота тела имеет следующую зависимость от времени (: .

Быстрота вращения тела характеризуется не только угловой скоростью (рад/с), но частотой вращения (об/мин), их связь определяется формулой

где число можно взять равным 3,14.

При равнопеременном ( вращении тела угол зависит от времени ( так

,

где - угловая скорость в начальный момент времени.

Угловая скорость тела в этом случае определяется формулой

.

В приведенных выше формулах знак “+” перед берется при ускоренном вращении, знак “-” – при замедленном.

 

Скорость ( точки (т. М) тела при его вращательном движении направлена перпендикулярно кратчайшему расстоянию от точки до оси вращения тела (по касательной к траектории точки) в сторону вращения тела (по направлению угловой скорости ) и равна: , м/с, где - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения тела ( см. рисунок 24).

Ускорение точки находится через нормальное , направленное по кратчайшему расстоянию к оси вращения тела, и касательное , направленное перпендикулярно нормальному в сторону углового ускорения тела. Величина ускорений , и определяются по формулам:

; ; .

При плоскопараллельном (плоском) движении тела скорость точки тела можно найти тремя способами:

Первый способ, заключающийся в использовании общей формулы, покажем на следующем примере. Для четырехзвенного механизма ОАВС, находящегося в данный момент времени в положении, указанном на рисунке 25, скорость точки В, если скорость т. А известна, находится по формуле:

,

где – скорость т. В в относительном вращении отрезка ВА вокруг точки А с угловой скоростью (.

 

Второй способ основан на теореме о проекциях скоростей: при плоском движении тела, проекции скоростей двух его точек на линию, соединяющую точки, равны (см. рисунок 26): . Скорость точки А легче вычислить если известна скорость точки А и можно найти углы и .

В третьем способе для определения скорости используется мгновенный центр скоростей точек (лежит на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей). Скорости точек прямо пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей:

Для определения ускорения точки при плоском движении тела используется общая формула, если известно ускорение одной точки тела и угловые скорость и ускорение относительного вращения тела вокруг этой точки:

, (

где , - нормальное и касательное ускорения т. В относительно т. А, их направление показано на рисунке 27, а модули находятся так:

; .

Векторные уравнения ( в проекции на оси дает два скалярных уравнения, решая которые определяем величину и направление ускорения т. В.

 

Задача 4. (К1). Тема: Кинематика точки.

Задание: Движение точки М задано координатным способом (зависимость ее координат и от времени дана в таблице 4). Определить: уравнение траектории точки в координатной форме, направление движения точки, а также в момент времени - положение, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки.

 

Таблица 4

 

Вариант	, м	м

 

Порядок решения задачи покажем на следующем примере:

Дано:

___________________________

; ; .

 

1.Запишем уравнение траектории точки М в координатной форме, исключив из уравнения ее движения время. Наличие в уравнениях тригонометрических функций позволяет использовать для этого формулы их соотношения:

В нашем примере

по формуле получим:

после преобразования имеем:

Это уравнение параболы. Значит траектория точки М – парабола (она показана на рисунке 28).

2. Для того чтобы определить направление движения точки, необходимо найти ее координаты в момент времени и следующий момент времени (например ).

При ; .

При ; .

Направление движения указано на рисунке 28.

3. Положение точки в момент времени определим, подставив в уравнение движения заданные значения времени (как в предыдущей точке).

При .

 

Точка показана на рисунке.

4. Скорость точки найдем через ее проекции на оси координат.

,

,

При

м/c;

м/с.

Модуль скорости равен

5. Ускорение точки найдем через ее проекции на оси координат.

,

,

При

м/c²;

м/с².

Модуль скорости равен

м/с².

6. Касательное ускорение точки найдем по формуле

при оно равно

 

м/с².

Знак “-” в ответе показывает, что касательное ускорение направлено в сторону, противоположную скорости, т.е. движение точки в этот момент времени – замедленное.

7. Нормальное ускорение точки в момент времени равно

м/с².

8. Радиус кривизны траектории точки в момент времени найдем из выражения

м.

Задача 5. (К2). Тема: Простейшие движения твердого тела. Сложное движение точки.

Задание: Дан четырехзвенный шарнирно-рычажный механизм (рисунок 29), состоящий из трех подвижных звеньев (звено 1), (звено 2), (звено 3) и одного неподвижного (звено 4). В движение механизм приводится за счет вращения с постоянной скоростью звена 1. Звено 3 также совершает вращательное движение, звено 2 – плоскопараллельное. По звену 2 или 3 движется ползушка 5 с постоянной скоростью . Для положения механизма и ползушки, указанного на рисунке, определить абсолютные скорость и ускорение точки ползушки, а также угловые скорости и и угловые ускорения и , звеньев 2 и 3. Необходимые для расчетов параметры даны в таблице 5.

 

Таблица 5

Вариант	, рад/с	град.	град.	, град.					,
					0,25	0,5	1,2	1,0
					0,3	0,4	0,3	0,9
					0,25	0,25	0,8	0,5
					0,3	0,5	1,2	1,0
					0,4	0,4	1,0	0,8
					0,4	0,5	1,2	0,8
					0,25	0,4	1,0	0,75
					0,5	0,5	1,5	1,0
					0,3	0,6	1,4	0,9
					0,4	0,6	1,2	1,0

 

 

 

 

 

Порядок решения задачи покажем на следующем примере: дан механизм, имеющий следующие размеры:

Дано:

; ; ; ;

; ; ; .

_____________________________________________________

1. Определим скорость точки .

.

Направлен вектор скорости перпендикулярно в сторону угловой скорости .

2. Найдем скорость точки В с использованием теоремы о проекциях скоростей, учитывая, что, вектор скорости должен быть перпендикулярен .

или

3. Угловую скорость звена 2 найдем через мгновенный центр скоростей этого звена.

расстояние найдем из треугольника по теореме синусов

или

 

 

Тогда

 

4. Определим угловую скорость звена 3.

Покажем дуговой стрелкой, направив ее в сторону, куда вектор поворачивает .

5. Вычислим переносную скорость точки М

где

вектор скорости направлен перпендикулярно ; в ту же сторону, что и вектор (по направлению ).

6. Абсолютная скорость точки М равна

7. Найдем ускорение точки А, учитывая, что звено 1 (ОА) вращается с постоянной угловой скоростью

.

 

8. Касательное и нормальное ускорение т.В найдем, проецируя на оси векторное выражение

в проекции на ось

в проекции на ось

,

где

.

Сначала из второго скалярного выражения находим :

Затем из первого скалярного выражения определяем

.

Полное ускорение точки равно

.

9. Касательное и нормальное ускорения точки М найдем по формулам:

10. Найдем модуль кориолисово ускорения точки M

,

где ; ;

тогда .

Для определения направления ускорения повернем вектор на вокруг точки М по угловой скорости звена, на котором расположена ползушка.

11. Найдем переносное ускорение точки М через две составляющие: - нормальное и - касательное, т.е.

12. Абсолютное ускорение точки М определим спроецировав на оси и векторное уравнение:

.

 

Учитывая, что (так как получим

;

и модуль равен

.

13. Угловое ускорение звена 2 равно

14. Угловое ускорение звена 2 равно

 

ДИНАМИКА