Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування

Скалярним добутком двох векторів і називається число

S =| | | |сos().

Ця операція позначається . Зокрема, скалярний квадрат вектора дорівнює квадратові його довжини, тобто . Якщо один з векторів, що перемножуються, одиничний, то:

.

Властивості скалярного добутку:

1) × = ï ï²;

2) × = 0, якщо ^ або = 0, або = 0.

3) × = × ;

4) ×( + ) = × + × ;

5) (m )× = ×(m ) = m( × ).

Нехай задані вектори у прямокутній системі координат

тоді .

Якщо розглядати вектори у декартовій прямокутній системі координат, то × = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b.

Використовуючи отримані рівності, отримуємо формулу для обчислення кута між векторами:

.

Якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює нулеві, то ці вектори ортогональні. Дійсно, якщо жоден з векторів не нульовий, то, за означенням скалярного добутку, останній може дорівнювати нулеві тільки тоді, коли , тобто .

Рис.3.

Якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює нулеві, то ці вектори ортогональні. Дійсно, якщо жоден з векторів не нульовий, то, за означенням скалярного добутку, останній може бути рівним нулеві тільки тоді, коли , тобто .

Якщо вектор представлений через проекції на базисні вектори, то говорять про розкладання вектора по ортогональному базису. З рисунка видно, що в цьому випадку вектор є головною діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, ребра якого паралельні осям координат і дорівнюють довжинам проекцій вектора на ці осі. З цього ж рисунка випливає, що модуль вектора чисельно буде дорівнює

.

З означення скалярного добутку випливає, що будь-який вектор, незалежно від типу, можна представити у вигляді:

,

де , і є скалярний добуток вектора з ортами осей координат.

У цьому випадку результат являє собою проекцію вектора на напрямок одиничного вектора . Отже, будь-який вектор можна представити як , де - проекції вектора відповідно на осі 0 х, 0у і 0 z.

З останньої рівності маємо

де a, b і g - кути, що утворює вектор відповідно з осями 0 х, 0у і 0 z.

Лінійно незалежні вектори , і утворюють праву трійку векторів, якщо вони мають таку ж орієнтацію, як відповідно великий, вказівний і середній палець правої руки, у протилежному випадку говорять про ліву трійку векторів.

Три одиничних вектори i, j, k, попарно ортогональні один одному й утворюючій правій трійці векторів, називають прямокутною декартовою системою координат.

Кутом між векторами і називають такий кут a, не переважаючий p, на який потрібно повернути вектор , щоб сполучити його з напрямком вектора , початок якого повинен збігатися з початком . Кут між векторами позначається (, ) або ( ^Ù ).

 

Рис.4.

 

Означення. Векторним добутком векторів і називається вектор , який задовольняє наступні умови:

1) , де j - кут між векторами і ,

2) вектор ортогональний векторам і ,

3) , і утворюють праву трійку векторів.

Векторний добуток позначають: або .

Властивості векторного добутку векторів:

 

1) ;

2) , якщо ïï або = 0 або = 0;

3) (m )´ = ´(m ) = m( ´ );

4) ´( + ) = ´ + ´ ;

5) Якщо задані вектори (x_a, y_a, z_a) і (x_b, y_b, z_b) в декартовій прямокутній системі координат з одиничними векторами , то

´ = .

 

6) Геометричний зміст векторного добутку – площа паралелограма, побудованого на векторах і .

Означення. Мішаним добуткомвекторів , і називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на вектор, рівний векторному добутку векторів і .

Позначається або (, , ).

Мішаний добуток векторів за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , і .

Властивості мішаного добутку:

 

1) Мішаний добуток дорівнює нулеві, якщо:

а) хоча б один з векторів дорівнює нулеві;

б) два з векторів колінеарні;

в) вектори компланарні.

2) .

3) .

4) .

5) Об’єм трикутної піраміди, утвореної векторами , і , дорівнює

6) Якщо , , то

.