Основные теоретические сведения.

 

Основные теоретические сведения о массивах были изложены в лабораторной работе №3. Данная лабораторная работа (№4) является логическим продолжением предыдущей и призвана закрепить навыки работы со статическими массивами на примере решения конкретных задач матричной алгебры.

Напомним основные моменты работы со статическими массивами.

1) Как и переменные, массивы необходимо объявлять. Запись double dArray[13][12] означает объявление двумерного массива dArray типа double размером 13×12 элементов, т.е. 13 строк и 12 столбцов.

2) Размер статических массивов определяется заранее и его нельзя менять. Если в задаче необходимо использовать массив переменного размера, то можно объявить массив заведомо большего размера и использовать в ходе решения только необходимую его часть. Например, в задаче требуется определить матрицу порядка n. Можно принять, что n <= 20 и объявить двумерный массив размером 20×20. Этого хватит для решения задачи для любого n <= 20.

3) Индексация в массивах начинается с нуля. Это означает, что для массива dArray индексы изменяются от 0 до 12 по строкам и от 0 до 11 по столбцам.

4) При работе с массивами широко используются циклы for. Следующий участок кода показывает пример обнуления двумерного массива dArray:

 

int i, j;

for (i = 0; i < 13; i++)

{

for (j = 0; j < 12; j++)

{

dArray[i][j] = 0;

}

}

 

5) Для инициализации больших массивов целесообразно использовать генератор случайных чисел.

Предположим, что по условию задачи массив dArray необходимо заполнить действительными числами, а затем определить количество положительных и отрицательных элементов массива. Примем следующее допущение: элементы массива будут иметь значения от –100 до +200. Тогда инициализацию массива можно провести следующим образом:

 

srand((unsigned)time(NULL));

int i, j;

for (i = 0; i < 13; i++)

{

for (j = 0; j < 12; j++)

{

dArray[i][j] = (300. * rand() / RAND_MAX) - 100;

}

}

 

6) В ряде случаев условие задач может быть неполным и для решения целесообразно принимать дополнительные ограничения, например, задать диапазоны изменения входных данных и т.п.

Теперь вы обладаете достаточными знаниями для самостоятельного решения следующих задач.

 

Транспонирование матриц

 

Транспонированной называется матрица (А^Т), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами.

Если А = (а_ij), то А^Т = (а_ji).

Из определения следует, что если исходная матрица А имеет размер m × n, то транспонированная матрица А^Т имеет размер n × m.

АЛГОРИТМ 3

Алгоритм операции транспонирования.

Исходные данные:

А [ m × n ] — исходная матрица.

Выходные данные:

M [ n × m ] — транспонированная матрица.

Вспомогательные переменные:

i, j — переменные для организации циклов.

 

Шаг 1. [Цикл по i ]. Выполнить шаг 2 при i = 0,…, n – 1 и после этого завершить алгоритм.

Шаг 2. [Цикл по j ]. Выполнить шаг 3 при j = 0,…, m – 1.

Шаг 3. [Установить М[ i,j ]]. М [ i, j ] = А [ j, i ]. (Формируем элементы транспонированной матрицы)

 

Сложение матриц

 

Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера. Суммой матриц А = (а_ij) и В = (b_ij) размера m × n называется матрица С = А + В, элементы которой с_ij = a_ij + b_ij для i = 1,2,..., m; j = 1,2,…, n (т.е. матрицы складываются поэлементно).

АЛГОРИТМ 4

Алгоритм сложения двух матриц.

Исходные данные:

А [ m × n ], В [ m × n ] — исходные матрицы.

Выходные данные:

С [ m × n ] — результат суммирования.

Вспомогательные переменные:

i, j — переменные для организации циклов.

 

Шаг 1. [Цикл по i ]. Выполнить шаг 2 при i = 0,…, m – 1 и после этого завершить алгоритм.

Шаг 2. [Цикл по j ]. Выполнить шаг 3 при j = 0,…, n – 1.

Шаг 3. [Установить С [ i,j ]]. С [ i,j ] = А [ i, j ] + В [ i, j ].

 

Умножение матриц

 

Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пусть А = (а_ij) матрица размера m × n и В = (b_ij) матрица размера n × p, тогда размерность произведения А × В равна m × p. При этом матрица С (размера m × p) называется произведением матриц А и В, если каждый ее элемент равен сумме произведений элементов i –й строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В:

АЛГОРИТМ 5

Алгоритм умножения двух матриц.

Исходные данные:

А [ m × n ], В [ n × p ] — исходные матрицы.

Выходные данные:

С [ m × p ] — результат умножения.

Вспомогательные переменные:

i, j, k — переменные для организации циклов.

 

Шаг 1. [Цикл по i ]. Выполнить шаг 2 при i = 0,…, m – 1 и после этого завершить алгоритм.

Шаг 2. [Цикл по j ]. Выполнить шаги от 3 до 4 при j = 0,…, p – 1.

Шаг 3. [Установить С [ i,j ]]. С [ i,j ] = 0.

Шаг 4. [Цикл по k ]. Выполнить шаг 5 при k = 0,…, n – 1.

Шаг 5. [Установить С [ i,j ]]. С [ i,j ] = С [ i,j ] + А [ i, k ] * В [ k, j ].

 

Задание на лабораторную работу №4

 

Задача 1. Разработать алгоритм и написать по нему программу транспонирования матрицы А размера m × n. Значение величин m и n выбрать из табл. 4.1 в соответствии с вариантом задания.

Задача 2. Разработать алгоритм и написать по нему программу сложения матриц А и В размера m × n. Значение величин m и n выбрать из табл. 4.1 в соответствии с вариантом задания.

Задача 3. Разработать алгоритм и написать по нему программу умножения матрицы А размера m × n на матрицу В размера n × p. Значение величин m, n, р выбрать из табл. 4.2 в соответствии с вариантом задания.

 

Оформить протокол лабораторной работы.

 

Примечание! Алгоритмы решения задач должны содержать не только расчетную часть, но и блоки формирования входных и выходных данных.

 

Варианты заданий

 

Таблица 4.1. Варианты заданий к задачам 1 и 2

№	m, n	№	m, n	№	m, n
	m = 2; n = 3		m = 3; n = 5		m = 5; n = 2
	m = 2; n = 4		m = 3; n = 6		m = 5; n = 3
	m = 2; n = 5		m = 4; n = 2		m = 5; n = 4
	m = 2; n = 6		m = 4; n = 3		m = 5; n = 5
	m = 3; n = 2		m = 4; n = 4		m = 5; n = 6
	m = 3; n = 3		m = 4; n = 5		m = 6; n = 2
	m = 3; n = 4		m = 4; n = 6

 

Таблица 4.2. Варианты заданий к задаче 3

№	m, n, p		m, n, p
	m = 2; n = 2; р = 2		m = 4; n = 4; р = 4
	m = 3; n = 2; р = 2		m = 5; n = 4; р = 4
	m = 4; n = 2; р = 2		m = 2; n = 4; р = 5
	m = 5; n = 2; р = 2		m = 3; n = 4; р = 5
	m = 2; n = 3; р = 3		m = 4; n = 4; р = 5
	m = 3; n = 3; р = 3		m = 5; n = 4; р = 5
	m = 4; n = 3; р = 3		m = 2; n = 4; р = 6
	m = 5; n = 3; р = 3		m = 3; n = 4; р = 6
	m = 2; n = 4; р = 4		m = 4; n = 4; р = 6
	m = 3; n = 4; р = 4		m = 5; n = 4; р = 6

 

Контрольные вопросы

 

Приведите алгоритм решения следующей задачи:

 

А = В * С + D

 

где A, B, C, D матрицы.

Какие следует принять дополнительные условия и ограничения для решения данной задачи?

 

Лабораторная работа №5

 

Цель: усовершенствовать навыки программирования на примере решения задач матричной алгебры с использованием динамических массивов.

 

Задачи:

1) Повторить теоретические сведения о создании и использовании диннамических массивов в языке Си++.

2) Разработать программу решающую одну из задач матричной алгебры.