И потенциалом
Работа сил поля над зарядом 
на отрезке пути 
может быть представлена, с одной стороны, как 
, с другой же стороны как убыли потенциальной энергии заряда, т.е. как 
. Приравнивая эти выражения, получим
,
откуда находим, что
,
где через 
обозначено произвольно выбранное направление в пространстве. В частности,
, 
, 
,
откуда 
.
Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом скаляра j (обозначается 
). Используя обозначения градиента, можно написать:
, (Ñ - набла).
Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком. Направление градиента совпадает с направлением 
, в котором при смещении из дано точки функция j, возрастая по величине, изменяется с наибольшей скоростью.
Величина производной 
по этому направлению дает модуль градиента. Частные производные 
представляют собой проекции градиента на координатные оси 
. Проекция градиента на ^ к нему направление t, очевидно, равна нулю: 
.
Поясним соотношения между напряженностью поля и потенциалом на примере поля точечного заряда. Потенциал этого поля выражается функцией 
.
Рассмотрим точку поля 1, положение которой определяется радиусом-вектором 
. При смещении из этой точки в разных направлениях на одинаковой величине малый отрезок наибольшее
Рис. 13.8. положительное приращение j получается для
направления от точки 1 к заряду , если он положителен, и от заряда к точке 1, если отрицателен. Следовательно, направление градиента может быть представлено в виде
,
где (-) соответствует положительному заряду, а (+) – отрицательному. Проекция на направление равна
или 
.
Эквипотенциальные поверхности
Для наглядного изображения поля можно вместо напряженности воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипотенциальными поверхностями. Эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция x, y, z, уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид
j (x, y, z) = const.
Направление нормали к эквипотенциальной поверхности будет совпадать с направлением вектора 
в той же точке.
Уславливаются проводить поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов 
для двух соседних поверхностей была одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля. Чем гуще, тем быстрее изменяется потенциал.
Рис. 13.9.
Применение электростатики в строительстве
