При неравноточных измерениях нельзя принимать в обработку среднее арифметическое из результата ряда наблюдений, т. к. необходимо учитывать достоверность каждого результата. Более точные измерения должны оказывать большее влияние на окончательный результат.
Для обработки результатов неравноточных измерений вводят понятие о математическом весе измерения. Вес определяет степень надежности результатов измерений. Чем точнее результат измерений, тем больше его вес. Точность результата измерения характеризуется его средней квадратической ошибкой. Следовательно, чем меньше средняя квадратическая ошибка результата измерения и чем больше его вес, тем надежнее результат.
Таким образом, вес результата измерения р – это величина обратно пропорциональная квадрату средней квадратической ошибки, характеризующей результат данного измерения.
Если ряд неравноточных измерений l1; l2; …; ln, а их средние квадратические ошибки имеют значения m1; m2; …; mn, то соответствующие им веса, будут где с – некоторая постоянная величина, число произвольное, но одно и тоже при определении значений всех весов.
Обозначим вес среднего арифметического, полученного из n измерений Р, а вес одного измерения – p, тогда
Следовательно, вес арифметической середины в n раз больше веса каждого отдельного результата измерения.
Пусть некоторая величина Х измерена n раз в различных условиях. При этом получены результаты l1 с весом p1, l2 с весом p2, и т. д. соответственно. Тогда наиболее вероятным значением будет среднее весовое или общее арифметическое среднее (общая арифметическая середина), вычисляемое по формуле.
Общей арифметической серединой или весовым средним неравноточных измерений называется сумма произведений результата каждого измерения на его вес, разделенная на сумму весов.
Истинные значения измеряемых величин, как правило, неизвестны, поэтому при оценке точности результатов неравноточных измерений используют вероятнейшие ошибки.
Средняя квадратическая ошибка единицы веса µ определяется по формуле, где υ – вероятнейшая ошибка (уклонение от общей арифметической середины) υ = l – L0; n – число измерений.
Средняя квадратическая ошибка весового среднего или общей арифметической средней М0 вычисляется по формуле, где Р – сумма весов.
Свойства случайных ошибок
Если одну и ту же величину, истинное значение х которой известно, многократно определить с равной точностью, то получим ряд измерений l1, l2, … ln. Каждое измерение будет иметь свою случайную ошибку Δ1, Δ2, … Δn, т. е. l1- х = Δ 1; l2- х = Δ 2; …; ln- х = Δ n.
Полученный ряд случайных ошибок обладает определенными статистическими свойствами:
1. Свойство симметричности, т. е. равные по абсолютной величине, но разные по знаку ошибки встречаются в рядах результатов измерений одинаково часто.
2. Свойство унимодальности или сосредоточения, т. е. малые по абсолютному значению ошибки встречаются чаще чем большие.
3. Свойство ограниченности, т. е. абсолютное значение случайных ошибок результатов измерений не может быть больше некоторого известного предела (предельной погрешности) Δi £ Δ пред. Величина предельной погрешности устанавливается инструментами.
4. Свойство компенсации, т. е. среднее арифметическое из всех случайных ошибок ряда измерений при неограниченном увеличении числа измерений, стремится к нулю, где Δ – случайные ошибки, n – количество измерений.
Если суммы обозначить квадратными скобками [ ] (символ сумм Гаусса), то можно записать.
Если на оси ординат (рис. 4.1) отложить величины случайных ошибок, а на оси абсцисс – число ошибок ряда измерений и через полученные точки провести кривую линию, то получим график распределения случайных ошибок, который характеризует указанные свойства. Из графика случайных ошибок следует, что большее число случайных ошибок расположено в пределах их значений от –1 до +1.
