Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал

На практике часто оказывается необходимым знать вероятность того что случайная величина х будет заключатся в некотором пределе. Искомая вероятность для дискретной случайной величины будет определяться по формуле Р(a<=x<=b)=F(b)-F(a) Для не прерывной случайной величины формула применяется следующего вида Р(a<x<b)=F(b)-F(a) Эта вероятность численно равна заштрихованной площади. Выразим функцию распределения F(x) через плотность ню(х).Функция распределения определяется следующим выражением F(x)=P(X<x)

17Численные характеристики случайной величины. Математическое ожидание. Закон распределения характерен плотностью случайной величины с вероятностью точки зрения, однако при решении ряда задач достаточно бывает узнать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные черты распределения. Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины. Математическое ожидание –дискретной случайной величины называется сумма произведения всех ее возможных значений на их вероятность. Математическое ожидание непрерывно случайной величины определения по формуле. (х)-функция плотности распределения величины х.

В теореме вероятности для характерной основной свойств распределения часто применяется моменты. Начальным момент которого порядка случайной х называется математическое ожидание которой степени случайной величины. Для дискретной случайно величины начальный момент которого порядка вычисляется по формуле. Для непрерывной величины. Выводим понятие центра случайной величины. Центральный моментом порядка к случайной величины х называется математическим ожиданием которой степени величины

Центральные моменты дискретный случайной величины вычисляется по формуле

Особые значения имеет центральный момент второго порядка называется дисперсией. Дисперсия характерная степень разброса значений случайной величины относительно математического ожидания так называемого центра распределения. Дисперсия имеет размерный квадрат случайной величины для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться среднеквадратическим отклонением, положительной величиной корня квадратного из дисперсии.

Нормальный закон распределения почти все случайные величины с которыми имеем дело в геодезии подчиняются нормальному закону распределения вероятности с плотностью вероятности. –основные параметры нормального закона. Кривая распределения по нормальному закону имеет холмообразный вид. Понятие о центральном предельной теореме. Теоремы устанавливают условие при которых возникает нормальный закон известный в теории вероятности под названием центральный предельный теоремы или теорема Ляпунова, которая имеет важное значение для теоремы ошибок измерения. Можно полагать что ошибки измерений складываются из большого числа элементов ошибок каждая из которых вызвана действием отдельной причины независящей от остальных и влияние элементарных ошибок на результаты измерений мало по сравнению с влиянием суммарной ошибки дельта. На основании случайно величины стремится к нормальному распределению.

Функция нормального распределения. Случайно величины х определяется согласно следующему выражению если от случайной величины х перейти к ее нормированному значению для которого то в этом случае плотность нормированного нормального случайной величины принимает вид

А функция распределения будет определятся формулой заштрихованная площадь под кривой численно равна F(t) вероятность попадания случайной величины Р(a<x<b)=F(b)-F(a) определяется по формуле: переходя к нормированному значению получим следующее выражение.

Интеграл вероятности. Более удобный для табулирования является функция Ф(t)называется интеграл вероятности численное значение функцииФ(t)равна заштрихованной площади. Ф(t)нечетная т.е. Ф(-t) = -Ф(t) Согласно второму свойству плотности вся площадь от кривой распределения равна единицы. Заштрихованная на пределе рис S численно равна F(t) и она может быть разбита на 2 части.(-бес;0)(0;t). На основании выше изложенного получим формулу связей функции распределения и интеграла вероятности.

` 19Основные задачи науки и ее понятие. Математическая статистика- это раздел математики изучающий методы сбора,систематизации и обработки результатов наблюдения с целью выявления статистической закономерности. Математическая статистика опирается на теоремы вероятности. Если теорема вероятности изучает законы распределения случайной величины строит теорему вероятности модели явлений, то математическая статистика оперирует результатами наблюдений над случайными величинами. Используя математический аппарат математическая статистика позволяет находить вероятнейшее наилучшее значение переменных величин, а так же их функции оценит точность измерений основывающихся на законах распределения больших чисел и предельных теоремах. Ученые пришли к выводу что при большом числе наблюдений случайные проявления измерений величин сглаживается и получается результат оказывается не случайным и предсказуемым. Статистически методы широко используются при прогнозировании случайного явления имея целью ограничить область действий случайных факторов. Все выше сказанное имеет прямое отношение к обработки результатов наблюдения и моделирования геодезических построений. Параметры и коррелатные способы уравнивания основаны на методе наименования квадратов. Они улучшают результаты наблюдения, ограничения действий случайных факторов, а так же исключительные влияния статистической факторов на конечный результат измерений в геодезических сетях. Выполнив корреляционный и регрисионный анализ результатов геодезических измерений вычисляют коэффициент корреляции, коэффициент регрессии и составление уравнения регрессии. Исполнения это уравнение вычисляется характеристика точности геодезических сетей по их моделям не прибегая при этом к дорогостоящим полевым измерениям.

19Основные задачи математической статистики. 1определение закона распределения случайной величины, задача сглаживания или выравнивания статистического ряда. Задача поверки правдоподобия гипотез, тесно связанных с 1 заданием. Она позволяет ответить на вопрос, согласуются ли результаты опытов с гипотезой. 3 задача об определении доброкачественной оценки не известных параметров. Задача оценки точности этих оценок. Результаты наблюдения х1…хn..над случайными величинами х называются выборкой из генеральной совокупности, т.е. из всех значений величин х. при большом числе наблюдений выборку оформляют в виде статистической группировки ряда, при этом весь диапазон значений х делится на интервалы, подсчитать полное значение х приходящего на каждый интервал к затем вычислить частоты затем составить таблицу, статистического ряда распределения. Практика показывает что число разрядов, порядка 10-20. статистический ряд графического оформления в виде гистограммы. Для этого по оси абсцисс откладывается интервалы на которых строят прямоугольные площади, которых равняют Q, высота прямоугольника аналогично функции распределения F(x) в математической статистике служит статистическая функция распределения.

21Элементы корреляционного анализа. Понятие о статистической связях. Существует 2 формы зависимости функциональной и статистической. 1 функциональная зависимость между 2мя величинами х и у называет такую зависимость при которой каждому значению у, которое можно точно указать. 2 статистика зависит между величиной х и у называю такую зависимость при которой каждое значение х соответствует распределению значений у, изменяющих вместе с значением х. Частным случаем статистической связи является прямоугольная корреляционная зависимость при которой с изменением х изменяется математическое ожидание у по линейному закону. Коэффициент корреляции. теснота линейной корреляции связь между двумя величинами х и у характеризуется коэффициент корреляции, оценка которого определяется по формуле. Статистический корреляционный момент.

 

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1. В случае когда коэффициент корреляции меньше 0, имеет место отрицательной корреляции. В случае когда > 0 говорят о положительной корреляции. Если =0 то между х и у прямолинейная корреляционная связь отсутствует. Однако не линейная связь может существовать. Для оценки надежности коэффициент корреляции при большом числе измерений (>50)применяется критерий Романского. В данном случае связь считается установлений если выполняется условие..

Уравнение регрессии.

Уравнение линейной регрессии х и у отражающее прямолинейную корреляционную связь между переменными х и у имеет вид где коэффициент регрессии х и у вычисляется по формуле. достоинство уравнения регрессии состоит в том, что оно позволяет предвычислить ожидаемое в среднем значение переменной у по заданному значению х.

22Ошибки измерений и их свойства. В теории ошибок на основе теории вероятности с использованием методов математической статистики решают следующие задачи: 1 изучение причин возникновения и законов распределения ошибок измерений. 2 установление допусков т.е. критериев указывает на наличие недопустимых отклонений результатов измерений. 3 определение наиболее надежных значений искомой величины из результатов ее многократных измерений. 4 предвычесления ожидаемой точности и оценки точности результатов измерений и их функции. Ошибки измерений подразделяется на грубые, систематические и случайные. К грубым ошибкам относятся ошибки вызванные промахами и просчетами наблюдений, а также не исправности инструментов, резким ухудшением внешних условий и т.д. Результат измерения содержит грубые ошибки необходимые выявлять и исключать из обработки. К систематическим относятся ошибки которые входят в результат измерений по тому или иному закону как функции источникам возникновения ошибок. В практике геодезических измерений применяются способы уменьшения влияния систем ошибок. 1 установленный закон появления систем ошибок, после чего ошибки уменьшаются введением поправок в результате измерений. 2 применение соответствующей методику измерений для того чтобы систематической ошибки действовали не односторонним а изменения знаки. 3 используют определенную методику обработки результатов измерений. Случайные ошибки являются наиболее яркими примерами случайной величины их закономерности обнаружив только в массовых проявлениях случайные ошибки неизбежны не могут быть исключены из единичного измерения влияния их можно лишь ослабить повышая качество измерений, а также надлежащей математической обработки результатов. Причины возможных случайных ошибок много. На основе центральной предельной теории Ляпунова, можно считать что случайные ошибки измерений подчинены нормальному закону распределения. В дальнейшем условно примем, что любых измерениях грубые ошибки отсутствуют. Основная часть системных ошибок исключена из результатов, а остальные системные ошибки ничтожно малы т.е. будем рассматривать только случайные величины. Хi-результат измерений, х- истинное значение измерений величины.

Свойства случайных величин. 1 случайные ошибки по абсолютной величине с заданной вероятностью бета не превысят определенного рода предел равного t*m, где t-коэффициент для которого 2 положительные или отрицательные случайные ошибки равны по абсолютной величине и одинаково часто встречаются в ряде измерений. Среднеарифметические из значений случайной ошибок при неограниченной значении числа измерений имеет предел 0 это свойство называется свойством компинсауции отклонения М() от 0 свидеться оналичие системных ошибок. 3малые по абсолютной величине случайной Ошибки встречается в ряде измерений чаще чем большие.

5Критерии точности измерений. 1 основным критерием точности результатов изменений является среднеквадратическая определение по формуле: для ряда истинных ошибок дельта при известных х равном М(х) формула принимает вид и называется формула Гаусса

 

2 среднеквадратическая ошибка U называется среднеарифметической из абсолютной значений ошибок

3вероятность ошибки r называется такое значение ошибок дельта больше или меньше которого абсолютного величины ошибки равна возможные т.е.

 

24Математическая обработка равноточных измерений под равноточными измерениями понимают результаты получения при измерении одним и тем же прибором одним и тем же методом, одинаковым числом приемов и в одинаковых условиях. Равноточные измерения характеризующие одинаковые для всех результатов среднеквадратической ошибкой. Обработка ряда результатов измерений одной и той же величины – это значение найти наиболее надежное значение измерений величины и оценить его точность.

24Математическая обработка ряда многократного измерения независимых измерений одной величина пусть выполнен ряд равноточных измерений одной величины истинное значение которой х не известно. В результате измерений получаем значение хi свободное от системных ошибок. Под обработкой ряда равноточных измерений понимают: 1 определение наиболее надежного значения измерений величины, которой является простая арифметическая середина. Где х0наименьшее значение из ряда 2 определение среднеквадратической ошибки отдельного результата измерений определяется по формуле Бесселя где уклонение от арифметической середины которая обладает свойствами 3определение среденеквадратической ошибки простой арифметической середины определяется: 4 построение доверительного интервала с заданной вероятностью накрывается истинное значение х определяется по формуле:

25Неравноточные измерения общие сведения о весах. Величина обратнопропорциональна дисперсии называется весами. Дисперсия результат измерений как правило не известная, заменяя их оценками, т.е. квадратами среднеквадратической ошибки получим выражение: приняв получим еще одну формулу веса

25Математическая обработка ряда независимых многократных неравноточных измерений неравноточных измерений одной величины. Неравноточными измерениями называется измерение которое имеет различные дисперсии. Это возможно когда измерение произойдет в различных условиях по разной методике и с помощью различных приборов. Для их совместной обработки и вводят понятие веса. Пусть имеются ряд многократных измерений одной и той же величины х1..х1..хn. истинное значение которой х не известно. известный результат весов измерений Р1..Р2..Рn… под обработкой ряда неравноточных измерений понимают: 1 определение более надежного значения измерений величины, среднего веса или арифметической середины: 2 определение по формуле Бесселя где 3 определение среднеквадратической ошибки наиболее надежного значения определения из выражения: 4построение доверительного интервала для истинного значения х определение из выражения:

 

Событие. Виды событий.

Для изучения законов теории вероятностей введем основные понятия. Одним из них является понятие события.

Определение: Событие -явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо комплекса условий.

Осуществление комплекса- испытание или опыт.

Сами испытания проводятся человеком или природой. Условия могут меняться помимо воли испытателя, поэтому исходом испытания может быть не ожидаемое событие, а какое-либо другое заранее неизвестное, которое называется случайным.

Определение: Случайное событие- это событие, которое может произойти или не произойти в результате одного испытания.

Обозначение событий- заглавные буквы латинского алфавита: A, B, C, D и т.д..

Примеры: Испытание- бросание монеты. Случайные события- выпадение герба или цифры.

Испытание- выстрел по мишени. Случайные события- выбивание количества очков от 0 до 10.

Рассмотрим пример: из урны, содержащей 5 красных шаров, вынимают два шара. Событие - оба шара- красные произойдет обязательно, а событие- один из них белый- произойти не может. Первое из этих событий называется достоверным, а второе -невозможным.

Определения:

Достоверное событие- это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания.

Невозможное событие- это событие,, которое не может произойти в результате испытания.

В результате испытания может появиться то или иное событие. Причем возможны различные ситуации. Рассмотрим примеры. При бросании монеты возможны события- выпадение герба и выпадение цифры. Но одновременно эти события произойти не могут. При бросании игральной кости(кубика) может выпасть любая из шести ее граней, т.е. произойти любое из событий- выпадение от 1 до 6 точек (очков). Но никакие две и более граней одновременно появиться не могут. Такие события называют несовместными.

Определение: События А и В называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление другого.

Теперь рассмотрим другую ситуацию. Проводим испытание- бросание кубика. Рассмотрим события: А- появление четного количества очков, В- появление количества очков, кратных трем. Эти два события могут произойти одновременно при выпадении 6 очков. Такие события называются совместными.

Определение: События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного не исключает появление другого.

По отношению к двум событиям, ожидаемым при проведении одного испытания, может возникнуть такая ситуация, когда не появление одного из них обязательно повлечет за собой появление другого. Такие события называются противоположными. Обозначение: для события А противоположным является А(не А).

Определение: События А и Аназываются противоположными или взаимно дополнительными, если не появление одного влечет появление другого.

Пример: испытание- контрольная работа. События- студент справился с работой и- не справился. В результате испытания обязательно произойдет либо первое, либо второе.

Рассмотрим список событий, которые могут произойти в результате одного испытания. Испытание- выстрел по мишени. События:

Аi- выбито i очков, где i=0-10;

В- выбито менее 10 очков;

С- выбито четное количество очков.

События Аi, где i=0-9, влекут за собой событие В; События А₀, А₂, А₄, А₆, влекут за собой событие С.

Говорят, что события Аi, где i=0-9, благоприятствуют событию В; А₀, А₂, А₄, А₆- благоприятствуют событию С.

Определение: Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.

Рассмотрим примеры перечисления всех возможных благоприятствующих событий для какого- либо данного события.

Испытание- бросание двух одинаковых кубиков. Событие- выпадение очков, сумма которых равна 6.

Всевозможные благоприятствующие события:

кубики	События(очки)
А1	А2	А3

Для данного события возможны три благоприятствующих А₁, А₂ и А₃.

С понятием благоприятствующее событие связано понятие - полная группа событий. Введем его на конкретном примере.

Рассмотрим группы событий испытания - выстрел по мишени:

Аi, i=0-10, выбивание i очков;

Четное В и нечетное С количество очков;

Выбивание очков меньше 5- событие D, выбивание очков больше 4 - событие Е.

В каждой группе какое -либо событие в результате испытания обязательно произойдет, причем появление одного из них исключает появление всех остальных. Такие события называются полной группой событий.

Определение: Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой.

Каждое событие из полной группы называется элементарным событием. Каждое элементарное событие - равновозможное, т.к. нет оснований считать, что какое-либо из них более возможное, чем любое другое событие полной группы.

Два противоположных события составляют полную группу.

Составим полную группу событий для испытания- подбрасывание трех монет одновременно (без учета порядка следования).

Выпадение герба обозначим Г, цифры- Ц. Каждое элементарное событие запишем в виде сочетания этих обозначений: ГГГ, ГЦЦ, ГГЦ, ЦЦЦ. Полная группа состоит из 4-х элементарных событий. В результате испытания обязательно выпадет какая-либо из этих комбинаций.