Решение линейной задачи расчета ЭМП в системе проводника с синусоидальным током, окруженного ферромагнитной электропроводящей трубой

 

Решение данной задачи позволяет рассчитать выходное напряжение на обмотке, размещенной на этом кольце, а также значение векторов напряженности электрического и магнитного поля и плотности тока в стенках трубы и активные потери в стенках трубы.

Устройство рассматрива-емой системы представлено на рис. 1, где обозначено:

W₁ – первичная обмотка (шина с синусоидальным током);

W₂ – вторичная или выходная обмотка;

u_с – выходной сигнал;

1– железный (стальной) короткий отрезок трубы или кольцо, выточенное из прутка обыкновенной стали широкого применения.

Рис. 1.

Установим связь между выходным напряжением u_с и током i. При этом будем полагать, что сердечник имеет однородную структуру и линейную зависимость:

B = f (H),

где B – магнитная индукция; H – напряженность магнитного поля.

Считаем, что магнитная проницаемость сердечника m = const, причем m >> m₀ (m₀ = 4 10 ^-7 Гн/м – магнитная проницаемость вакуума), т.е. полагаем, что перемагничивание материала стенок трубы происходит на начальном участке кривой намагничивания B = f (H). Сталь обладает электропроводностью g (для стали g» (0,7 – 0,93) · 10⁷ 1/Ом∙м [2, стр. 731], для чугуна g» (2 2,5) · 10⁶ 1/Ом∙м).

Решение проведем в цилиндрической системе координат для случая, когда синусоидально изменяющийся во времени ток направлен по оси Z, (рис. 2).

Уравнения электромагнитного поля для проводящей среды имеют, как известно [2, стр. 651], вид

 

rot = , (1)

rot = - j wgm , (2)

где – вектор плотности тока в проводящей среде.

Из (1) и (2) получим

rot rot = - j wgm . (3)

Преобразуя левую часть получим

Рис. 2

grad div - Ñ ² = - jw g m (4)

 

Так как в установившемся режиме div = 0, то из (4) получим

 

Ñ ² = j wgm . (5)

 

Раскрывая Ñ ² в цилиндрической системе координат и учитывая, что в рассматриваемом случае от и Z не зависит (т.е. вектор плотности тока имеет только осевую компоненту), придем к частному случаю уравнения Бесселя:

+ · = 0, (6)

(r₁ < r < r₂)

где qr = r (w = 2p f, f – частота синусоидального тока, q²= -jwgm), а величина вектора плотности тока зависит от радиуса r, , , .

Как известно [2], решение уравнения (6) можно записать следующим образом:

= J_o (qr) + N_о (qr) (7)

где и – постоянные интегрирования;

J_о (qr) – функция Бесселя нулевого порядка первого рода;

N_о (qr) –функция Бесселя нулевого порядка второго рода.

Вторым слагаемым в выражении (7) при реальных значениях r, γ, ω, µ можно пренебречь, тогда (7) запишем следующим образом:

= J₀ (qr). (8)

На основании (2), с учетом раскрытия rot в цилиндрической системе координат и зависимости только от координаты r, получаем выражение для вектора напряженности магнитного поля в стальном сердечнике, направленного перпендикулярно вектору = , т.е. вектор имеет только поперечно-круговую компоненту в направлении угла (см. рис. 2). (На этом же рисунке указаны направления векторов и ).

, (9)

(r₁ < r < r₂)

где J₁ (qr) – функция Бесселя первого рода первого порядка.

Определим постоянную интегрирования _. С этойцелью по закону полного тока найдем амплитудное значение на внутренней поверхности трубы

,

где и – комплексные амплитудные значения вектора напряженности магнитного поля и тока).

Приравняем значение к правой части (9)

,

тогда . (10)

После подстановки (10) в (9) получаем

при (r₁ ≤ r≤ r₂). (11)

Учитывая, что = , используя выражения (8) и (10), получаем амплитудное значение вектора напряженности электрического поля в стенках трубы для r₁ < r < r₂.

 

, (12)

где – поперечно-круговая компонента напряженности магнитного поля на внутренней поверхности трубы. Отношение в (12) определяется выражением

(13)

Это отношение принято называть волновым сопротивлением, измеряемым в омах, зависит от свойств среды и , и угловой частоты .

Выражение (12) перепишем с учетом (13)

(14)

На основании (14) получим выражение для расчета плотности вихревого тока δ на различных расстояниях от внутренней поверхности внутрь стенки трубы, т.е. в области :

(15)

Отношение функций Бесселя, входящих в (14, 15), при > 20 практически равно 1 . Так, например, для точки на внутренней поверхности стальной трубы (r = r₁) при = 2 πf = 314 рад/с, f = 50 Гц, = 1000 , = 4 π · 10^-7 Гн/м; = 0,8 ∙ 10⁷ 1/Ом · м; r = r ₁ = 15 мм = =15 · 10^{-3 м; = 26,65 · ;}

0,014 + 1,013 1 = – т.е. это отношение можно считать мнимым числом с модулем равным единице.

Для точек лежащих на внутренней поверхности трубы (r = r₁), вектор напряженности электрического поля и вектор плотности тока, направленные параллельно оси трубы, определяются выражениями

(16)

Если сопоставить выражение (16) для вектора с выражением для вектора напряженности электрического поля на поверхности, полученного при решении задачи о распространении плоской электромагнитной волны в однородном проводящем ферромагнитном полупространстве, решение которой приведено в [2, стр. 655], можно установить, что они идентичны. Это позволяет сделать вывод о том, что и в данном случае процесс распространения электромагнитного поля (ЭМП) можно рассматривать в виде подающей волны. Отраженная волна будет отсутствовать из-за малой глубины проникновения ЭМП по сравнению с толщиной стенки трубы, т.е. падающая волна затухает, не доходя до внешней поверхности цилиндра.

В связи с отмеченным выше, глубину проникновения ЭМП в стенку трубы с указанными выше размерами, ω, γ, µ можно рассчитать так же как и для плоской волны по формуле

м мм,

что в несколько раз меньше толщины стенок этой трубы даже на промышленной частоте 50 Гц. При этом плотность тока по глубине проникновения во внутреннюю область ферромагнетика можно приближенно рассчитать следующим образом:

(А/м²) (17)

Следует заметить, что выражения (11) и (15) можно использовать для определения вектора Умова-Пойнтинга.

С помощью теоремы Умова-Пойнтинга в комплексной форме получаем возможность определения потока активной и реактивной мощности через боковую поверхность трубы:

. (18)

(для r = r₁)

 

На основании полученного выражения для можно рассчитать сигнал, наводимый на сигнальной обмотке с числом витков W ₂, следующим образом.

Учитывая, что каждый проводник сигнальной обмотки, расположенный на внутренней поверхности трубы и ориентированный параллельно оси трубы, имеет длину, равную длине цилиндра h, а число этих последовательно соединенных проводников W ₂, то

(В) (19)

При расчете сигнала по формуле (19) не принимаются во внимание те части длины проводников каждого витка, которые находятся за пределами внутренней поверхности трубы, т.к. эдс сигнала будет наводиться под действием падающей волны ЭМП только на проводниках, которые находятся на внутренней поверхности трубы.

Как видно из (19), сигнал, наводимый на обмотке W ₂ опережает ток первичной обмотки практически на 45^º, как указано выше, если отношение численно равно мнимой единице, что выполняется в рассматриваемом случае.

Следует отметить, что ели выбрать отрезок трубы из ферромагнитного материала, у которого γ ≈ 0 (например, цилиндрический ферритовый сердечник), то сдвиг по фазе будет равен 90^º, т.к. в этом случае процессы перемагничивания сердечника будут такие же, как в обычном трансформаторе в режиме холостого хода

Рассмотрим численный пример. Расчет по формуле (19) был проведен при следующих данных испытуемого образца:

 

r ₁ = 15,0 мм, h = 40 мм, γ = 0,8 · 10⁷ 1/Ом·м,

r ₂ = 18,0 мм, μ = 1000 · μ ₀ f = 50 Гц,

= 4 А, W ₁ = 1 W ₂ = 200

В результате расчета амплитудного значения сигнала на обмотке W ₂ при указанных параметрах было получено U _mc = 0,075 В = 75 мВ.