Основное уравнение динамики вращательного движения совпадает с уравнением второго закона Ньютона для поступательного движения. Поэтому для описания вращательного движения можно провести аналогичные обобщения, приведшие нас к закону сохранения импульса (рис. 141).
рис. 141
Уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
Iε = M, (1)
где ε = Δω/Δt − угловое ускорение тела, I − его момент инерции, М − сумма моментов внешних сил, действующих на тело, перепишем в виде
Δ(Iω)/Δt = M. (2)
Физическая величина
L = Iω
называется моментом импульса. Уравнение (2) оказывается применимым и для описания вращения тел, момент инерции которых изменяется в процессе движения, поэтому имеет более широкую область применимости, чем уравнение (1). Теперь основное уравнение динамики формулируется так: скорость изменения момента импульса тела равна суммарному моменту сил, действующему на тело. Доказать теоретически это утверждение невозможно − мы провели обобщение, которое подтверждается многочисленными экспериментами. Введенное нами определение момента импульса L = Iω является частным случаем для этой физической величины.
Дадим еще одно определение этой физической величины. Пусть материальная точка массы m движется со скоростью v. Импульсом тела называется векторная величина р = mv. Моментом импульса называется произведение импульса тела на плечо импульса (расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой направлен импульс):
L = mvd. (3)
Это определение аналогично определению момента силы. Можно дать эквивалентные выражения формулы (3):
L = mvd = mvrcosα = mvτr,
где r − расстояние от оси вращения до рассматриваемой материальной точки, vτ − составляющая скорости, перпендикулярная радиус-вектору рассматриваемого точечного тела (рис. 142).
рис. 142
Аналогично моменту силы момент импульса может быть определен как векторная физическая величина, направленная перпендикулярно плоскости, содержащей вектор импульса mv и радиус-вектор r. При таком определении вектор момента импульса равен векторному произведению указанных векторов
Основное уравнение динамики вращательного движения также записывается в векторной форме:
Легко показать, что при вращении тела вокруг неподвижной оси из формулы (3) следует выражение для момента импульса L = Iω.
Действительно, при вращении вокруг неподвижной оси вектор скорости перпендикулярен прямой, соединяющей точку тела с осью вращения, величина скорости выражается через угловую скорость v = ωr (рис. 143).
рис. 143
Поэтому момент импульса выражается формулой
L = mvr = mr2ω = mr2ω = Iω,
где I = mr2.
Если же рассмотреть вращение произвольного тела, то для того, чтобы вычислить момент импульса всего тела, достаточно мысленно разбить его на малые части и просуммировать моменты импульсов всех малых частей. Так как угловые скорости всех точек одинаковы, то суммирование сведется к суммированию моментов инерции точек.
Легко заметить, что при движении произвольной системы материальных точек изменение суммарного момента импульса полностью определяется моментом внешних сил. По третьему закону Ньютона, тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Так как силы взаимодействия направлены вдоль одной прямой, то плечи этих сил равны. Следовательно, при суммировании уравнений вращательного движения для произвольной системы моменты внутренних сил взаимно уничтожатся (подобно тому, как взаимно уничтожаются внутренние силы при сложении уравнений поступательного движения). Таким образом, для произвольной системы материальных точек оказывается справедливым уравнение (3/), в котором М − вектор моментов только внешних сил.
Для замкнутой системы тел, не взаимодействующих с другими телами, не включенными в систему, момент внешних сил равен нулю, поэтому для замкнутой системы суммарный момент импульса сохраняется. Это утверждение выражает еще один фундаментальный физический закон − закон сохранения момента импульса.
В теоретической физике показано, что он является следствием изотропности 1 пространства, в котором происходят все физические явления. Если вы уверены в том, что результаты физического эксперимента одинаковы независимо от того, как ориентирована ваша экспериментальная установка, то вы должны признать закон сохранения импульса.
1Изотропность означает равноправие, одинаковость всех направлений в пространстве.
| Момент силы
Момент силы, величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают М. с. относительно центра (точки) и относительно оси.
М. с. относительно центра О величина векторная. Его модуль Mo = Fh, где F — модуль силы, a h — плечо, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы (см. рис.); направлен вектор Mo перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода часовой стрелки (в правой системе координат). С помощью векторного произведения М. с. выражается равенством Mo = [ rF ], где r — радиус-вектор, проведённый из О в точку приложения силы. Размерность М. с. — L 2 MT 2, единицы измерения — н × м, дин × см (1 н × м = 107 дин × см) или кгс × м.
М. с. относительно оси величина алгебраическая, равная проекции на эту ось М. с. относительно любой точки О оси или же численной величине момента проекции Рху силы F на плоскость ху, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки пересечения оси с плоскостью. Т. е.
M z = M o cos g = ± F xy h 1.
Знак плюс в последнем выражении берётся, когда поворот силы F с положительного конца оси z виден против хода часовой стрелки (тоже в правой системе). М. с. относительно осей x, y, z могут также вычисляться по формулам:
Mx = yFz — zFy, My = zFx — xFz, Mz = xFy — yFx,
где Fx, Fy, Fz — проекции силы F на оси; х, у, z — координаты точки А приложения силы.
|
