Энергия гармонических колебания.

При гармонических колебаниях полная энергия системы сохраняется, но в различные моменты времени кинетическая и потенциальная энергии имеют разное значении, достигая максимального и минимального значений. Запишем формулы энергии для случая пружинного маятника.

	кинетическая энергия
	потенциальная энергия
	полная энергии

Из формул следует, что кинетическая и потенциальная энергии достигают максимумов дважды за период Т изменения смешения х и находятся в противофазах: когда кинетическая энергия максимальная, потенциальная равна нулю, и наоборот.

 

Тема 16. Вопрос 1.

Часть 1.

Затухающие колебания и вынужденные колебания.

 

При любом реальном движении всегда существуют силы трения или сопротивления. Это приводит к диссипации механической энергии. С течением времени механическая энергия колеблющейся системы переходит в тепловую, рассеиваясь в окружающую среду. Если механическую энергию не пополнять, то колебания будут затухать. Дифференциальное уравнение движения (II закон Ньютона) в этом случае принимает более сложный вид, чем в случае незатухающих колебаний, но самое главное, заранее неизвестно выражение для силы сопротивления. Мы рассмотрим частный случай, предполагая, что сила сопротивления пропорциональна скорости колеблющейся точки: ~ υ. В этом случае амплитуда смещения оказывается не постоянной, а убывающей по

экспоненциальному закону.

 

	сила сопротивления, r - коэффициент сопротивления среды
или	II закон Ньютона при затухающих колебаниях
	смещение при затухающих колебаниях
	амплитуда при затухающих колебаниях β - коэффициент затухания - амплитуда в начальный момент времени

Если подставить в дифференциальное уравнение второго закона Ньютона х, х, х, получим уравнение, члены которого будут содержать синусы и косинусы. Объединяя члены с синусами и члены с косинусами, и учитывая, что уравнение должно выполняться при любых х, в-том числе при х = 0, получим два уравнения, из которых найдем коэффициент затухания β и циклическую частоту затухающих колебаний аx.

	коэффициент затухания, его величина тем больше чем больше коэффициент сопротивления седы r
	циклическая частота затухающих колебаний
	циклическая частота собственных незатухающих колебаний, т. е колебаний, которые происходили бы в системе при отсутствии сил сопротивления
	период затухающих колебаний

Тема 16. Вопрос 1.

Часть 2.

Если коэффициент затухания становится сравним с собственной частотой незатухающих колебаний , , и колебания переходят в периодический режим, при котором колебаний фактически нет, а наблюдается один «всплеск». При этом вся механическая энергия за одно колебание переходит в тепловую энергию. А периодический режим используют в стрелочных приборах или в аналитических весах, чтобы погасить ненужные колебания. Затухающие колебания характеризуют

следующими величинами.

 

	логарифмический декремент затухания.Это натуральный логарифм отношения предыдущей амплитуды к последующей за время, равное периоду колебаний.
	связь между различными характеристиками затухающих колебаний T – период, N – полное число колебаний за время t, число колебаний за которое амплитуда убывает в е раз (е = 2,7… основание натуральных логарифмов)

 

время релаксации- это время, за которое амплитуда убывает в е раз.

 

Коэффициент затухания - это величина, обратная времени релаксации, а логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний, за которые амплитуда уменьшается в е раз. Например, пусть при некоторых колебаниях δ = 0,01, β = 100 1/с. Это означает, что за время 0,01 с амплитуда уменьшается в е раз и при этом совершается 100 колебаний.

 

Тема 16. Вопрос 2.

Вынужденные колебания.

Если на колебательную систему воздействовать внешней периодически изменяющейся силой , то в системе возникают вынужденные колебания.

 

Это II закон Ньютона дли системы, в которой действует возвращающая сила (кх), сила сопротивления (кυ) и внешняя вынуждающая сила, круговая частота изменения которой равна Ω,

 

Решение этого дифференциального уравнения складывается из двух решений: общего решения для свободных затухающих колебаний и частного решения для вынужденных колебаний:

Вначале в течение некоторого времени в зависимости от сдвига фаз Ф, могут преобладать те или иные колебания. Это время называют временем релаксации. Но с течением времени собственные колебания затухают и в системе устанавливаются гармонические колебания, но не со своей частотой ω, а с частотой Ω, которую задает внешняя сила. Амплитуда вынужденных колебаний сложным образом зависит от массы системы, амплитуды внешней силы ,коэффициента затухания β собственной частоты ω и частоты изменения вынуждающей силы Ω. Если частота изменения внешней силы совпадает с собственной частотой колебаний системы Ω = ω, происходит очень резкое увеличение амплитуды колебаний. Это явление называют резонансом. Резонанс может быть как полезным, так и вредным. Если, например, двигатель плохо закреплен и «бьет», то при совпадении частот может быть разрушена опора. Известны случаи разрушения мостов под порывами ветра, разрушения самолетов. С другой стороны, на явлении резонанса основана вся прикладная акустика и радиотехника, аппараты, воспринимающие электрические и звуковые колебания. Резонанс является наиболее удобным методом измерения частоты колебаний.

 

Тема 17. Вопрос 1.

 

Волновые процессы.

Если в какой-либо упругой среде (твердой, жидкой, газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами, это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. При волновом процессе частицы не переносятся с волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы колеблются вдоль направления распространения волны (звуковые волны). В поперечной волне частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (Волны на поверхности воды, электромагнитные волны).

Волны характеризуют следующими величинами.

	длина волны - это: 1) расстояние, которое проходит волна за время, равное периоду колебаний T, или 2) это расстояние между соседними точками, колеблющимися в одинаковых фазах.
	v (Гц = 1/с) - частота колебаний - это число колебаний за единицу времени, υ - скорость волны (не путать со скоростью колебаний).
	ω (рад/с) круговая (циклическая частота) колебаний
	волновое число

Получим уравнение простейшей плоской монохроматической бегущей волны. Волна называется плоской, когда на бесконечно малом интервале расстояний dx смещение y остается постоянным во всей своей плоскости. Монохроматической волной называют волну, в которой колебания происходят с одной частотой. Пусть в точке О происходят колебания. Представим себе, что это поверхность воды. В точку В колебания дойдут с задержкой во времени

	уравнение колебаний в точке О
	уравнение колебаний в точке B. Это и есть уравнение волны, т.к. смещение является функцией не только времени t, но и расстояния х.

Используя вышеприведенные формулы, уравнение волны можно записать в различной форме.

уравнение плоской монохроматической волны

Тема 17. Вопрос 2.

Стоячие волны.

При наложении двух встречных волн с одинаковыми периодами и амплитудами возникает колебательный процесс, который называют стоячей волной. Стоячая волна образуется при отражении волн от препятствий. Падающая (прямая) и отраженная (обратная) волны накладываются одна на другую и образуют стоячую волну. Стоячую волну можно наблюдать, если привязать один конец веревки, например, к стене, а свободный конец быстро перемещать вверх-вниз. Получим уравнение стоячей волны.

	уравнение прямой волны
	уравнение обратной волны
	смещение в образующейся стоячей волне

Подставляя и после тригонометрических преобразований, получим

выражение для смещения точек в стоячей волне.

	уравнение стоячей волны
	амплитуда стоячей волны λ — длина бегущей волны

В стоячей волне каждая точка совершает вертикальные колебания с различными амплитудами (в бегущей волне, о которой говорилось ранее, все точки колеблются с одинаковыми амплитудами). Если точки находятся на расстояниях

х = λ /4, З λ /4, 5 λ /4,..,она не совершает колебаний, такие точки называются

узлами. Амплитуда точек, находящихся на расстояниях х = 0,2 λ/4, 4 λ /4,..., оказывается максимальной и равной 2 λ. Эти положения точек в стоячей волне называются пучностями.

 

 

Тема 18. Вопрос 1.

Электромагнитная волна - это распространяющиеся в пространстве электрическое и магнитное поля.

 

	связь между напряженностью электрического поля и напряженностью магнитного поля электромагнитной волны
	υ - скорость электромагнитной волны в середе с - скорость электромагнитной волны в вакууме п - показатель преломления вещества μ ≡ 1 - магнитная проницаемость для большинства веществ близка к единице

Тема 18. Вопрос 2.

 

Если записать уравнения теории Максвелла в дифференциальной форме для простейшего случая, когда электрическое и магнитное поле распространяется в однородном диэлектрике (вакуум) только в одном направлении х, т.е напряженности Е и H=f(x,t), можно получить волновое уравнение для E и аналогичное для H. Решениями этих уравнений являются:

	уравнения плоской бегущей монохроматической волны

Из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны являются поперечными: векторы Е и H направлены всегда перпендикулярно х - направлению их распространения.

	связь между напряженностью электрического поля и напряженностью магнитного поля электромагнитной волны
	υ - скорость электромагнитной волны в середе с - скорость электромагнитной волны в вакууме п - показатель преломления вещества μ ≡ 1 - магнитная проницаемость для большинства веществ близка к единице

Тема 18. Вопрос 3.