Парная корреляция и парная линейная регрессия

 

Наиболее простым вариантом корреляционной зависимости является парная корреляция, т.е. зависимость между двумя признаками (результативным и факторным или между двумя факторными). Математически эту зависимость можно выразить как зависимость результативного показателя у от факторного показателя х. Связи могут быть прямые и обратные. В первом случае с увеличением признака х увеличивается и признак у, при обратной связи с увеличением признака х уменьшается признак у.

 

Важнейшей задачей является определение формы связи с последующим расчетом параметров уравнения, или, иначе, нахождение уравнения связи (уравнения регрессии).

 

Могут иметь место различные формы связи:

- прямолинейная:

 

	x = a0 + a1x	(8.1)
y

 

- криволинейная в виде:

 

параболы второго порядка (или высших порядков):

= a

+ a

x + a

x2

(8.2)

y

x

гиперболы:

a1

(8.3)

y x = a0

+

x

показательной функции:

x = a0a1x

(8.4)

y

и т.д.

 

Параметры для всех этих уравнений связи, как правило, определяют из системы нормальных уравнений, которые должны отвечать требованию метода наименьших квадратов (МНК):

 

na0 + a1 åx = åy
a0 åx + a1 åx2 = åxy	(8.5)

 

 

Если связь выражена параболой второго порядка (y_x = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ²), то систему

 

нормальных уравнений для отыскания параметров a₀, a₁, a₂ (такую связь называют множественной, поскольку она предполагает зависимость более чем двух факторов) можно представить в виде:

na₀ + a₁ åx + a₂ åx² = åy

 

a0 åx + a1 åx2 + a2 åx3	= åxy
a0 åx2 + a1 åx3 + a2 åx4	= åx2 y	(8.6)

 

Другая важнейшая задача – измерение тесноты зависимости – для всех форм связи может быть решена при помощи вычисления эмпирического корреляционного отношения h:

 

d

d

h =

=

(8.7)

s

s

å(

x

-

)2

где – d

=

y

y

n

дисперсия в ряду выравненных значений результативного показателя yx;

å(y -

)2

s

=

y

– дисперсия в ряду фактических значений у.

n

 

 

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции r, для расчета которого можно использовать, например, две следующие формулы:

 

å(x -

) ×(y -

)

rxy =

x

y

(8.8)

nsx sy

åxy -

åx ×

åy

rxy =

n

(8.9)

(åx 2 -

(åx)2

) ×(åy2

-

(åy)2

)

n

n

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до + 1 или по модулю от 0 до 1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» – прямая зависимость, «-» имеет место при обратной зависимости.