Наиболее простым вариантом корреляционной зависимости является парная корреляция, т.е. зависимость между двумя признаками (результативным и факторным или между двумя факторными). Математически эту зависимость можно выразить как зависимость результативного показателя у от факторного показателя х. Связи могут быть прямые и обратные. В первом случае с увеличением признака х увеличивается и признак у, при обратной связи с увеличением признака х уменьшается признак у.
Важнейшей задачей является определение формы связи с последующим расчетом параметров уравнения, или, иначе, нахождение уравнения связи (уравнения регрессии).
Могут иметь место различные формы связи:
- прямолинейная:
| x = a0 + a1x | (8.1) | ||
| y |
- криволинейная в виде:
параболы второго порядка (или высших порядков):
| = a | + a | x + a | x2 | (8.2) | ||||||||||||
| y | x | |||||||||||||||
| гиперболы: | ||||||||||||||||
| a1 | (8.3) | |||||||||||||||
| y x = a0 | + | |||||||||||||||
| x | ||||||||||||||||
| показательной функции: | ||||||||||||||||
| x = a0a1x | (8.4) | |||||||||||||||
| y | ||||||||||||||||
| и т.д. |
Параметры для всех этих уравнений связи, как правило, определяют из системы нормальных уравнений, которые должны отвечать требованию метода наименьших квадратов (МНК):
| na0 + a1 åx = åy | |
| a0 åx + a1 åx2 = åxy | (8.5) |
Если связь выражена параболой второго порядка (yx = a 0 + a 1 x + a 2 x 2), то систему
нормальных уравнений для отыскания параметров a0, a1, a2 (такую связь называют множественной, поскольку она предполагает зависимость более чем двух факторов) можно представить в виде:
na0 + a1 åx + a2 åx2 = åy
| a0 åx + a1 åx2 + a2 åx3 | = åxy | |
| a0 åx2 + a1 åx3 + a2 åx4 | = åx2 y | (8.6) |
Другая важнейшая задача – измерение тесноты зависимости – для всех форм связи может быть решена при помощи вычисления эмпирического корреляционного отношения h:
| d | d | ||||||||||||||||||||
| h = | = | (8.7) | |||||||||||||||||||
| s | s | ||||||||||||||||||||
| å( | x | - | )2 | ||||||||||||||||||
| где – d | = | y | y | ||||||||||||||||||
| n | дисперсия в ряду выравненных значений результативного показателя | ||||||||||||||||||||
| å(y - | )2 | ||||||||||||||||||||
| s | = | y | – дисперсия в ряду фактических значений у. | ||||||||||||||||||
| n | |||||||||||||||||||||
Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции r, для расчета которого можно использовать, например, две следующие формулы:
| å(x - | ) ×(y - | ) | |||||||||||||||||
| rxy = | x | y | |||||||||||||||||
| (8.8) | |||||||||||||||||||
| nsx sy | |||||||||||||||||||
| åxy - | åx × | åy | |||||||||||||||||
| rxy = | n | (8.9) | |||||||||||||||||
| (åx 2 - | (åx)2 | ) ×(åy2 | - | (åy)2 | ) | ||||||||||||||
| n | n | ||||||||||||||||||
Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до + 1 или по модулю от 0 до 1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» – прямая зависимость, «-» имеет место при обратной зависимости.
