Виды средних и способы их вычисления

 

Правильное применение средних возможно лишь на основе предварительной группировки: выделения качественно однородных совокупностей и расчленения явления на части в зависимости от различия условий, под влиянием которых явление складывается.

 

Под средней величиной в статистике понимают показатель, который характеризует типичный уровень изменяющегося признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

 

При изучении отдельных видов средних величин рекомендуется четко представлять методику их расчета и область применения. Наиболее распространенной формой средних величин является средняя арифметическая, расчет которой производится путем деления суммы всех значений изучаемого признака на их количество.

 

Формула расчета:

		å xi
x =	,	(5.1)
n

где х – среднее значение изучаемого признака; x_i –конкретное значение этого признака;

n –число единиц,значение признака которых изучается.

 

Расчет средней по данной формуле называется способом простой средней арифметической.

 

Если какое-то значение признака повторяется у нескольких единиц, то в этом случае формула расчета средней арифметической имеет такой вид:

 

			å x i f i
	x =	,	(5.2)
	å fi

где f_i – частота повторения отдельных вариантов признака.

 

Данная формула носит название средней арифметической взвешенной.

 

Средняя хронологическая используется в тех случаях, когда имеются данные наблюдения на определенные моменты времени; ее расчетная формула имеет вид:

 

		= 0.5 x 1 + x 2 + x 3 ++ x n - 1 + 0.5 xn ,
	x	(5.3)
		n -1

 

Средняя геометрическая используется для анализа темпов роста явлений и вычисляется по следующим формулам:

 

					xn
		x = n -1	,
		x
x = n -1 k × k × k ×		× k	,
				n -1

где x ₁ – первый (базисный) уровень ряда динамики; x_n –последний уровень ряда динамики;

n –число уровней(или периодов);

k ₁, k ₂,…, k_{n -1}–цепные коэффициенты роста данного ряда динамики.

 

 

(5.4)

 

 

(5.5)

 

 

Взвешенные средние широко применяются при обработке данных текущего наблюдения по производственным участкам и цехам предприятия, обобщении материалов отчетности предприятий и организаций.

 

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле:

 

Х=М / (М / х),

(5.6)

 

где М=х∙f

 

Пример.

 

Партия	Себестоимость одной детали,	Затраты на всю партию деталей,
деталей	руб. (х)	руб. (М)
	1,8
	2,0
	2,3

 

Х=М / (М / Х) = (180+400+165) / (180/1,8+400/2+165/2,3) =1,98 (руб.).

 

Средняя себестоимость единицы продукции исчислена по формуле средней гармонической, так как исходной базой исчисления средней себестоимости является отношение затрат на производство всей продукции к количеству единиц продукции.

 

Выбор вида средней зависит от задачи, стоящей перед исследователем, и характера исходных данных. Если имеются варианты и частота, то для расчета средней величины применяется средняя арифметическая. В тех случаях, когда имеются варианты и произведения вариант на частоты (х∙f), а частоты неизвестны, для расчета средней величины используется средняя гармоническая.

 

Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда следует исчислить среднюю из величин, обратно пропорциональных изучаемому явлению.

 

Структурные средние

 

Особого рода средними, используемыми в экономическом анализе для изучения структуры вариационного ряда, являются мода и медиана.

 

Медиана –это значение признака у той единицы совокупности,которая расположена всередине упорядоченного ряда. По данным интервального вариационного ряда, который предварительно ранжирован, медиану определяют по формуле:

Me = x + d	(0.5å f i)- Sm -1	,	(5.7)
	fm

 

где x ₀ – нижняя граница медианного интервала; d –величина медианного интервала;

0.5å f_i – полусумма частот всех интервалов;

 

S_{m -1}–сумма частот до медианного интервала; f_m – частота медианного интервала.

Если ряд дискретный, то медианой является срединное значение признака, и применение формулы не требуется.

 

Мода –это наиболее часто встречающееся значение признака.В интервальномвариационном ряду ее определяют по формуле:

 

Mo = x 0	+ d		f 2	- f 1		,	(5.8)
(f 2	- f 1)	+(f	2- f 3)

где x ₀ – нижняя граница модального интервала; d –величина модального интервала;

f ₂–частота модального интервала;

 

f ₁–частота интервала,предшествующего модальному; f ₃–частота интервала,следующего за модальным.

 

В дискретном ряду мода – это вариант признака, имеющий наибольшую частоту.

 

Показатели вариации

 

Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.

 

Для измерения вариации (колеблемости) признака могут быть использованы следующие показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Три последних показателя обладают преимуществами, обусловленными их математическими свойствами, перед первыми двумя.

 

1.

Размах вариации:

R = x max - x min ,

(5.9)

å

xi - x

× fi

2.

Среднее линейное отклонение:

l =

,

(5.10)

å fi

3.

Дисперсией называется средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. Формула

расчета:

(

)

å

x - x

× f

s 2

=

i

i

,

(5.11)

å fi

4.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии, т.е.

å xi -

s =

x

× fi

,

(5.12)

å

fi

 

Первые четыре показателя измеряют абсолютный размер колеблемости признака и выражаются в тех же единицах измерения, что и значения признака.

 

Коэффициент вариации позволяет сравнивать колеблемость (вариацию) различных, но взаимосвязанных явлений (или их признаков), а также колеблемость одноименных признаков, но действующих в различных условиях места или времени.

 

Формула расчета:

 

v =	s	×100 %,	(5.13)
x

 

Коэффициент вариации используют не только для сравнения оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.