.
4.15.1Признаки возрастания и убывания функции.
Если первая производная у ¢ (х) > 0 на интервале (а,b), то функция у(х) возрастает на этом интервале.
Если первая производная у ¢ (х) < 0 на интервале (а,b), то функция у(х) убывает на этом интервале.
Необходимое и достаточное условия экстремума
Необходимое условие экстремума функции: Теорема Ферма. Если точка х0 является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то у¢(х) = 0.
Экстремум функции – это либо максимум функции, либо минимум функции. Касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс.
Достаточное условие экстремума функции:
Если производная у¢ при переходе через точку х0 меняет знак с «+» на «-», то точка х 0 является точкой максимума.
Если производная у¢ при переходе через точку х0 меняет знак с «-» на
«+», то точка х0 является точкойминимума.
Если знак производной не меняется, то функция в точке не имеет ни максимума ни минимума.
Точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует (то есть стремится к бесконечности), называются критическими точками первого рода.
4.15.3. Первое правило нахождения экстремумов
1. Найти производную f ¢(х).
2. Найти действительные корни уравнения f ¢(х) = 0.
3. Расположить корни уравнения х1, х2 … хn в порядке возрастания на числовой оси, в результате ось разобъется на интервалы. В каждом интервале определить знак производной.
4. Выяснить какие корни являются точкой максимума, точкой минимума и какой корень не является точкой экстремума.
5. Найти значения функции в точках экстремумов.
Применение второй производной к исследованию графика
Функции
4.16.1. Второе правило нахождения экстремумов
1. Найти производную f¢ (х).
2. Найти корни уравнения f ¢(х) = 0 ® х1, х2,…
3. Найти вторую производную f ² (х).
4. Если f ² (х1) < 0, то в этой точке максимум,
f ² (х1) > 0, то в этой точке минимум,
f ² (х1) = 0, то нужно обращаться к первому правилу.
Выпуклость и вогнутость кривой
Если вторая производная у ¢¢ (х) > 0 на интервале (а, b). то график функции у(х) является вогнутой кривой на этом интервале, то есть он расположен выше любой касательной, проведенной к графику функции в точках этого интервала.
Если вторая производная у ¢¢ (х) < 0 на интервале (а,b), то график функции у(х) является выпуклой кривой на этом интервале, то есть он расположен ниже любой касательной, проведенной к графику функции в точках этого интервала.
Точка, в которой вторая производная у¢¢(х) = 0 и при этом вторая производная меняет знак при переходе через эту точку, называется точкой перегиба графика функции.
Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует (то есть стремится к бесконечности), называются критическими точками второго рода.
Пример 4 Для выполнения контрольного задания №2
Исследовать функцию у = х2 – 16х на максимум и минимум с помощью первой производной, исследовать функцию на выпуклость и вогнутость
с помощью второй производной функции.
Решение
1. Найти производную данной функции:
у ¢ = 2х – 16
2. Приравнять производную к нулю и найти корни (критические точки) уравнения: у ¢= 0, 2х – 16 = 0, отсюда х = 8. Для удобства вынесем множитель 2:
2(х – 8) = 0.
3. Выясним, как производная меняет знак при переходе через точку х = 8
Возьмем значение х < 8, например, 7 и подставим в уравнение и найдем знак производной. Знак производной получился «-». Значит, функция убывает при х<8.
Возьмем значение х > 8, например, 9 и подставим в уравнение и найдем знак производной, Знак производной получился «+». Значит, функция возрастает при х>8.
Производная меняет знак с «-» на «+» (с минуса на плюс), следовательно функция имеет минимум в точке х = 8.
4. Найдем минимальное значение функции в критической точке:
у = 82 – 128 = 64 – 128 = - 64.
Точка минимума функции (8, - 64) является вершиной параболы, а ветви параболы направлены вверх.
5. Найдем производную второго порядка, для этого продифференцируем первую производную, которая равна у ¢= 2х -16. у ¢¢ = 2. Вторая производная больше нуля, следовательно график функции является вогнутой кривой при всех значениях х.
4.17. Уравнениякасательнойинормали
Уравнениекасательной к данной кривой у = f(х), проходящей через точку на ней М (х1, у1) имеет вид:
у – у1 = f ¢ (х1) (х – х1),
где угловой коэффициент k1 в точке х 1 равен производной функции в этой точке.
Нормалью к кривой у = f(х) в данной её точке М(х1,у1) называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания М. Угловой коэффициент в уравнении нормали к кривой имеет вид:
k2 = - 
4.18. Асимптотыкривой
Прямая y=kx + b называется наклонной асимптотой кривой y =f(x) при х ® +¥, если
(f (x) – kx –b) = 0
Отсюда, k = 
, b = 
.
Если k = 0, то уравнение асимптоты имеет вид: у = b (горизонтальная асимптота).
Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если односторонние пределы функции в этой точке равны бесконечности. Обычно это точки разрыва второго рода.
4.19. Общая схема исследования функций
1. Найти область определения функции;
2. исследовать функцию на четность и нечетность;
3. исследовать функцию на периодичность;
4. исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва. Для этого приравнять знаменатель к нулю, найти значения х, при которых знаменатель обращается в ноль. В этих точках график функции терпит разрыв.
5. найти критические точки первого рода. Для этого найти первую производную, приравнять её к нулю, решить уравнение и найти действительные корни уравнения;
6. найти интервалы монотонности и экстремумы функции. Для этого методом проб определяются знаки производной в каждом из интервалов;
7. найти критические точки второго рода. Для этого найти вторую производную и приравнять её к нулю. Из этого уравнения находят критические точки второго рода. Кроме этого находят еще критические точки, где вторая производная не существует
8. найти интервалы выпуклости и точки перегиба. Для этого определяют знак второй производной в каждом интервале.
9. найти асимптоты графика функции. Для этого по формулам находят коэффициенты уравнения асимптоты, затем строят линии асимптот.
10. найти точки пересечения с осями координат;
11. построить график функции.
Контрольное задание №2
14 вариантов
Найти производные от произведения двух функций и записать
дифференциалы:
1. y = х2 sin x 8. у = sin x cos x
2. y = x3 ×cosx 9. y = e х sin x
3. y = x× tgx 10. y = lnx× sin x
4. y = x5 ex 11. y = 2 х ×cos x
5. y = x2 ×lnx 12. y = eх ×cosx
6. y = x 3 2х 13. y = tgx× eх
7. y = x2 ×ctgx 14. y = 3х × eх
Найти производные частного двух функций:
1. у = sinx/ x2 8. y = sinx/cosx
2. y = cosx/ x3 9. y = cosx/sinx
3. y = tgx/ x 10. y = e x / sinx
4. y = ex / x3 11. y = 3 x / cosx
5. y = 2 х / x 12. y = tgx/ 2x
6. y = lnx/ x3 13. y = x 4 / 2 x
7. y = x5 /sinx 14. y = x/ sinx
Найти скорость и ускорение прямолинейного движения материальной точки в момент времени t:
1. S = 3t + t3 + 7 t = 3 8. S = 2t3 + 4t2 + 5 t = 1
2. S = 4 + 2t + t4 t = 1 9. S = 3t2 + t3 + 6 t = 2
3. S = 9 + 3t + 2t3 t = 3 10. S = 3t3 + 4t2 + 5 t = 1
4. S = 8 + t2 + 2t3 t = 2 11. S = 5t2 + 2t3 + 9 t = 2
5. S = 9 + 2t2 + t3 t = 2 12. S = 4t2 + 8 + t3 t = 3
6. S = 5t2 + 4t3 t = 3 13. S = t3 + 9 + 3t2 t = 2
7. S = 7 + t3 + 5t2 t = 4 14. S = t4 + 8 + 4t t = 2
Исследовать функцию на экстремум, исследовать функцию на точки перегиба:
1. у = (х + 2)2 (х – 4)
2. у = (х + 3)2 (х - 6)
3. у = (х + 4)2 (х – 5)
4. у = (х + 1)2 (х - 5)
5. у = (х - 5)2 (х + 1)
6. у = (х + 2)2 (х – 7)
7. у = (х – 2)2 (х – 5)
8. у = (х -7)2 (х + 2)
9. у = (х + 5)2 (х – 4)
10. у = (х – 8)2 (х + 1)
