Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Правило дифференцирования сложной функции




Дифференциальное исчисление

Производная функции

Производной функции у = f (х) в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 0:

- приращение функции у;

- приращение аргумента х.

 

4.2. Геометрическийсмыслпроизводной

 

Производная функции f(х) в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой у = f (х) в точке х0, то есть у¢ = tg a, где a – угол наклона касательной к оси Ох в данной точке.

Уравнениекасательной к данной кривой у = f(х), проходящей через точку на ней М (х0, у0) имеет вид:

у – у0 = f ¢ (х0) (х – х0),

где угловой коэффициент k =tg a в точке х0 и равен производной функции в этой точке.

 

Механический смысл производной

Производная функции – есть мгновенная скорость изменения функции в точке х0. Возьмем в качестве функции путь S, а в качестве аргумента время t. Средняя скорость движения материальной точки в промежутке времени Dt равна отношению промежутка пути D S к промежутку времени D t. Если устремим промежуток времени к нулю, Dt ®0, то получим мгновенную скорость движения материальной точки и эта мгновенная скорость равна производной от пути по времени. Обозначается это так:

V = S¢ = .

Применение производной в экономических задачах.

В экономической теории существует понятие эластичности, которое было введено А. Маршалом в связи с анализом функций спроса. С математической точки зрения понятие эластичности определяется с помощью понятия производной.

Эластичностью функции ( function elasticity) - называется предел отношения относительного приращения функции y/у к относительному приращению х/х, когда х 0 и у 0. Эластичность обозначается символом Е(у) и выражается формулой:

Е(у)=

 

4.5. Дифференциалфункции

 

Дифференцирование функции – это нахождение (отыскание) производной функции.

Дифференциалом функции у = f(х) называется главная часть её приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента Dх. Дифференциалфункции равен произведению производной на дифференциал аргумента:

dy = f ¢(x)× dx.

 

Основные правила дифференцирования

1. Производная от суммы (разности) функций u = u(х) и v = v(х) равна сумме (разности) производных этих функций:

(u¢ v¢) = u¢

2. Постоянный множитель c можно выносить из-под знака производной:

(c• u)¢ = с• u¢

3. Производная от произведения двух функций u = u(х) и v = v (х) вычисляется по формуле:

(uv)¢=u¢• v+u• v¢

4. Производная от частного двух функций вычисляется по формуле:

Правило дифференцирования сложной функции

 

Если у =f (u), а u = u (х), то есть y = y{u (х)}- сложная функция, тогда производная сложной функции находится по формуле:

x = y¢ux

Пример

Найти производную сложной функции:

у = (х2 +5)3

Решение: обозначим у = u3, где u = х2 + 5, запишем производные

у¢u = 3u2x = 2х, подставим в формулу производной сложной функции:

у¢х = 3u2 2х = 3(х2 + 5)2 2х.

 

4.8. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть функция у = f (х) задана через параметр t, а именно х =х (t) и у=у(t). Тогда производная от функции у по х выражается через производные от функции х по t и от функции у по t:

у¢x =

 

4.9. Дифференцирование неявно заданной функции.

Для неявно заданных функций нет единой формулы определения производной, а существует метод нахождения производной. Пусть функция у неявно содержится в уравнении F(х,у) = 0. Возьмем производные по х в каждой части уравнения, при этом функцию у будем рассматривать как сложную функцию. Получим уравнение относительно у¢. Из этого уравнения и находим у¢.

Пример

Найти производную у¢ из уравнения х2 + у2 = 5

Решение

Продифференцируем каждую часть уравнения по х:

2х + 2у у¢= 0, следовательно, у¢ = - х/ у.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-18; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1068 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Люди избавились бы от половины своих неприятностей, если бы договорились о значении слов. © Рене Декарт
==> читать все изречения...

2477 - | 2272 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.