Дифференциальное исчисление
Производная функции
Производной функции у = f (х) в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 0:
y¢
- приращение функции у;
- приращение аргумента х.
4.2. Геометрическийсмыслпроизводной
Производная функции f(х) в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой у = f (х) в точке х0, то есть у¢ = tg a, где a – угол наклона касательной к оси Ох в данной точке.
Уравнениекасательной к данной кривой у = f(х), проходящей через точку на ней М (х0, у0) имеет вид:
у – у0 = f ¢ (х0) (х – х0),
где угловой коэффициент k =tg a в точке х0 и равен производной функции в этой точке.
Механический смысл производной
Производная функции – есть мгновенная скорость изменения функции в точке х0. Возьмем в качестве функции путь S, а в качестве аргумента время t. Средняя скорость движения материальной точки в промежутке времени Dt равна отношению промежутка пути D S к промежутку времени D t. Если устремим промежуток времени к нулю, Dt ®0, то получим мгновенную скорость движения материальной точки и эта мгновенная скорость равна производной от пути по времени. Обозначается это так:
V = S¢ = .
Применение производной в экономических задачах.
В экономической теории существует понятие эластичности, которое было введено А. Маршалом в связи с анализом функций спроса. С математической точки зрения понятие эластичности определяется с помощью понятия производной.
Эластичностью функции ( function elasticity) - называется предел отношения относительного приращения функции y/у к относительному приращению х/х, когда х 0 и у 0. Эластичность обозначается символом Е(у) и выражается формулой:
Е(у)=
4.5. Дифференциалфункции
Дифференцирование функции – это нахождение (отыскание) производной функции.
Дифференциалом функции у = f(х) называется главная часть её приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциалом аргумента dх называется приращение аргумента Dх. Дифференциалфункции равен произведению производной на дифференциал аргумента:
dy = f ¢(x)× dx.
Основные правила дифференцирования
1. Производная от суммы (разности) функций u = u(х) и v = v(х) равна сумме (разности) производных этих функций:
(u¢ v¢) = u¢ v¢
2. Постоянный множитель c можно выносить из-под знака производной:
(c• u)¢ = с• u¢
3. Производная от произведения двух функций u = u(х) и v = v (х) вычисляется по формуле:
(uv)¢=u¢• v+u• v¢
4. Производная от частного двух функций вычисляется по формуле:
Правило дифференцирования сложной функции
Если у =f (u), а u = u (х), то есть y = y{u (х)}- сложная функция, тогда производная сложной функции находится по формуле:
y¢x = y¢u• u¢x
Пример
Найти производную сложной функции:
у = (х2 +5)3
Решение: обозначим у = u3, где u = х2 + 5, запишем производные
у¢u = 3u2 u¢x = 2х, подставим в формулу производной сложной функции:
у¢х = 3u2 2х = 3(х2 + 5)2 2х.
4.8. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Пусть функция у = f (х) задана через параметр t, а именно х =х (t) и у=у(t). Тогда производная от функции у по х выражается через производные от функции х по t и от функции у по t:
у¢x =
4.9. Дифференцирование неявно заданной функции.
Для неявно заданных функций нет единой формулы определения производной, а существует метод нахождения производной. Пусть функция у неявно содержится в уравнении F(х,у) = 0. Возьмем производные по х в каждой части уравнения, при этом функцию у будем рассматривать как сложную функцию. Получим уравнение относительно у¢. Из этого уравнения и находим у¢.
Пример
Найти производную у¢ из уравнения х2 + у2 = 5
Решение
Продифференцируем каждую часть уравнения по х:
2х + 2у у¢= 0, следовательно, у¢ = - х/ у.