Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Производная обратной функции




Если функция у = f (х) имеет обратную функцию х = g(x) на интервале (а, b) и имеет отличную от нуля производную у¢х, то обратная функция дифференцируема и производная определяется по формуле:

х¢у = 1/ у¢х.

 

Таблица производных основных элементарных функций.

c¢=0, с=const (ex)¢=ex
(xn)¢=nxn-1 (sin x)¢=cos x
(ax)¢=ax ln a (cos x)¢= -sin x
(ln x)¢= (tg x)¢=
(log a x)¢= (ctg x)¢= -
(arcsin x)¢= (arctg x)¢=
(arccos x)¢= - (arcctg x)¢= -

 

 

Пример 1: К выполнению контрольного задания №2

 

Найти производную у ¢ и дифференциал функции у = 3х • sin x

Решение:

Здесь используются правила нахождения производной от произведения функций и вынесения множителя за знак производной.

Обозначим:

u =3х, v = sin x

u¢ =3 v¢ =cos x

По формуле (uv)¢ = u ¢v + u v¢, запишем у ¢ = 3 (sin x + x соs x)

Дифференциал функции dy = 3 (sin x + x cos x) dx.

 

Производные высших порядков

Производная от функции называется производной первого порядка или первой производной. Производная от первой производной называется производной второго порядки или второй производной, затем – третьей и так далее пока производные высших порядков будут существовать.

Обозначаются производные высших порядков так: у¢, у¢¢, у¢¢¢, …, у(n) и т.д.

Пример 2

Найти производные высших порядков от функции у = х3

Решение

Первая производная: у¢ = 3х2, вторая производная: у¢¢ = 6 х, третья производная: у¢¢¢= 6, четвертая: у(4) = 0 и все остальные производные y(n) равны «0».

 

4.13. Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков определяются по формуле:

dn y = f (n) (x) dxn

 

Приложение второй производной в механике

Пусть материальная точка движется неравномерно по закону S = f(t). Как было показано ранее скорость движения точки в момент времени t определяется по формуле v(t) = S¢ (t). Скорость v(t) также есть функция от времени t. Тогда производная от скорости по времени называется ускорением и равна:

a = v¢ (t) = S¢¢(t).

Ускорение неравномерного движения материальной точки является второй производной от пути по времени.

 

Пример 3 для контрольного задания № 2.

Тело движется прямолинейно по закону:

S = 3 – 2t + t3

Найти скорость и ускорение в момент времени t = 3.

Решение

Находим первую производную от пути по времени:

v = S¢ (t) = -2 + 3t2, подставим t = 3, получим v(3)= 25.

Находим вторую производную от пути по времени:

а = S¢¢(t) = 6t, подставим t = 3, получим а(3) = 18.

Ответ: В момент времени t = 3 скорость движения тела равна 25 ед., ускорение движения равно 18 ед.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-18; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 601 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Лучшая месть – огромный успех. © Фрэнк Синатра
==> читать все изречения...

2230 - | 2116 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.