Производная обратной функции

Если функция у = f (х) имеет обратную функцию х = g(x) на интервале (а, b) и имеет отличную от нуля производную у¢_х, то обратная функция дифференцируема и производная определяется по формуле:

х¢_у = 1/ у¢_х.

 

Таблица производных основных элементарных функций.

c¢=0, с=const	(ex)¢=ex
(xn)¢=nxn-1	(sin x)¢=cos x
(ax)¢=ax ln a	(cos x)¢= -sin x
(ln x)¢=	(tg x)¢=
(log a x)¢=	(ctg x)¢= -
(arcsin x)¢=	(arctg x)¢=
(arccos x)¢= -	(arcctg x)¢= -

 

 

Пример 1: К выполнению контрольного задания №2

 

Найти производную у ¢ и дифференциал функции у = 3х • sin x

Решение:

Здесь используются правила нахождения производной от произведения функций и вынесения множителя за знак производной.

Обозначим:

u =3х, v = sin x

u¢ =3 v¢ =cos x

По формуле (uv)¢ = u ¢v + u v¢, запишем у ¢ = 3 (sin x + x соs x)

Дифференциал функции dy = 3 (sin x + x cos x) dx.

 

Производные высших порядков

Производная от функции называется производной первого порядка или первой производной. Производная от первой производной называется производной второго порядки или второй производной, затем – третьей и так далее пока производные высших порядков будут существовать.

Обозначаются производные высших порядков так: у¢, у¢¢, у¢¢¢, …, у⁽ⁿ⁾ и т.д.

Пример 2

Найти производные высших порядков от функции у = х³

Решение

Первая производная: у¢ = 3х², вторая производная: у¢¢ = 6 х, третья производная: у¢¢¢= 6, четвертая: у⁽⁴⁾ = 0 и все остальные производные y⁽ⁿ⁾ равны «0».

 

4.13. Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков определяются по формуле:

dⁿ y = f ⁽ⁿ⁾ (x) dxⁿ

 

Приложение второй производной в механике

Пусть материальная точка движется неравномерно по закону S = f(t). Как было показано ранее скорость движения точки в момент времени t определяется по формуле v(t) = S¢ (t). Скорость v(t) также есть функция от времени t. Тогда производная от скорости по времени называется ускорением и равна:

a = v¢ (t) = S¢¢(t).

Ускорение неравномерного движения материальной точки является второй производной от пути по времени.

 

Пример 3 для контрольного задания № 2.

Тело движется прямолинейно по закону:

S = 3 – 2t + t³

Найти скорость и ускорение в момент времени t = 3.

Решение

Находим первую производную от пути по времени:

v = S¢ (t) = -2 + 3t², подставим t = 3, получим v(3)= 25.

Находим вторую производную от пути по времени:

а = S¢¢(t) = 6t, подставим t = 3, получим а(3) = 18.

Ответ: В момент времени t = 3 скорость движения тела равна 25 ед., ускорение движения равно 18 ед.